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Ableitung, Momentangeschwindigkeit

Schüler Sonstige, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, momentangeschwindigkeit

-Rosa- aktiv_icon

13:11 Uhr, 17.05.2014

Hallo,

ich habe große Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen:

Am Fuß eines Berghanges mit dem Neigungswinkel

α =

30° steht ein Haus.

1081 m

längs des Hangs bergauf entsteht ein Schneebrett, welches sich beim Hinuntergleiten zu einer Schneelawine entwickelt. Diese bewegt sich auf dem schiefen Berghang hinunter nach der Weg-zeit-Funktion

s (t) = 0,5 \cdot (sin α) \cdot g \cdot

t²

wobei

α =

30° und

g

die Fallbeschleunigung

9,81

m/s² sei.

a)

Geben Sie die Funktionsgleichung für diesen konkreten Fall an. Welchen Weg hat die Lawine in den ersten 5 Sekunden zurückgelegt?

b)

Nach welcher Zeit hat sie das Haus erreicht?

e)

c)

Geben Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall

[t 1; t 2]

allgemein an und berechnen Sie diese in den ersten 5 Sekunden vor dem Aufprall auf das Haus.

d)

Geben Sie die Momentangeschwindigkeit der Lawine allgemein zum Zeitpunkt

t 0

an und berechnen Sie diese nach 5 Sekunden, nach

10

Sekunden und zum Zeitpunkt des Aufpralls auf das Haus.

e)

Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion an, die die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.

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Ich habe

a, b

und

c

mit Hilfe von bereits vorhandenen Lösungswegen im Internet gelöst... (hoffentlich).....
Die Erklärungen zu

d)

reichen mir nicht leider.
Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung von

s (t)

oder

v = \frac{s}{t}

oder auch

v = (\frac{g}{2}) \cdot t

.
zu der Ableitung: Mein Vorschlag:

s

(t) = 0,5 \cdot 9,81 \frac{m}{s} ² \cdot cos (30 °) \cdot t ²

Lösung im Internet:

s

(t) = 9,81 \frac{m}{s} ² \cdot cos (30) \cdot t

v = \frac{s}{t} :

Warum ist meine Lösung zu

c)

für

5 s

äquivalent zu dieser Formel?
nämlich: zu

c :

v = \frac{s (t 2) - s (t 1)}{t 2 - t 1}

also

v = \frac{6,31 m - 0 m}{5}

s-0s)??

zu

v = (\frac{g}{2}) \cdot t

Mit diesem Lösungsweg konnte leider überhaupt nichts anfangen

Kann mir bitte jemand helfen.

Grüße
Rosa

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Stephan4

16:24 Uhr, 17.05.2014

a)

s (t) = 0,5 \cdot ({sin 30}^{o}) \cdot 9,81 \cdot t^{2}

{sin 30}^{o} = 0,5

s (t) = 2,4525 \cdot t^{2}

s (5) = 61,3125

b)

1081 = 2,4525 \cdot t^{2}

t = 20,99

c)

\frac{s (t_{2}) - s (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} = \frac{2,4525 \cdot (t_{2}^{2} - t_{1}^{2})}{t_{2} - t_{1}} = \frac{2,4525 \cdot (t_{2} - t_{1}) \cdot (t_{2} + t_{1})}{t_{2} - t_{1}} =

= 2,4525 \cdot (t_{2} + t_{1})

2,4525 \cdot (5 + 0) = 12,2625

d)

s' (t) = 4,905 \cdot t

s' (5) = 24,525

s' (10) = 49,05

s' (20,99) = 102,98

e)

keine Ahnung. War das nicht schon in

d)

gefragt?

-Rosa- aktiv_icon

01:28 Uhr, 18.05.2014

Hallo Stephan4,

danke erstmal für Deine Mühe.

Bei

c)

habe ich ja einiges durcheinander gebracht......

Aber wie kommt man bei

d)

auf

s

(t) = 4,905 \cdot t

(4,905 = 2,4525 \cdot 2)

Die Ableitung von

s (t) = 0,5 \cdot

sin(30°)

\cdot

9,81(m/s²)

\cdot

t²=2,4525(m/s²)*t²
ist doch

s . (t) = 0,5 \cdot cos (30) \cdot 9,81 \cdot 2 t = 0,5 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 9,81 \cdot 2 t = 8,4957 \cdot t

??

Grüße
Rosa

prodomo aktiv_icon

09:55 Uhr, 18.05.2014

Nein, das ist nicht die richtige Ableitung.

sin (30^{0})

ist doch eine Konstante, nämlich

\frac{1}{2}

. Wenn du das nach

t

ableitest, verändert sie sich nicht. Bei deiner Lösung tust du so, als wäre die Neigung des Hanges mit der Zeit veränderlich - eine abenteuerliche Vorstellung, dagegen wäre die Lawine fast schon ein Randproblem.
Offenbar hast du die Konstanz von

{sin 30}^{0}

nicht wirklich verstanden, sonst hättest du gleich zum Beginn dafür

\frac{1}{2}

eingesetzt. Dann kommt auch mit

s = \frac{1}{4} \cdot g \cdot t^{2}

sofort

v = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t

heraus als Antwort für

e)

-Rosa- aktiv_icon

11:52 Uhr, 18.05.2014

Hallo prodomo,

der Cosinuswert

(\frac{\sqrt{3}}{2})

ist doch bei 30° Winkel..? Oder nimmt man einfach immer den Sinuswert bei solchen Aufgaben?

Grüße
Rosa

-Rosa- aktiv_icon

12:13 Uhr, 18.05.2014

Kann das sein dass bei

e)

einfach nach einer Funktionsgleichung gefragt ist ohne einen Neigungswinkel? Aber wieso ist hier nicht einfach

v = (\frac{s}{t})

richtig?

prodomo aktiv_icon

13:19 Uhr, 18.05.2014

Hier ist doch der Sinus gegeben ! Warum das so ist, kannst du an der schiefen Ebene nachvollziehen, die müsste in Klasse

11

bekannt sein.

cos (30^{0}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

stimmt.
"Eine Funktion, welche die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt", ist nur ein anderer Ausdruck für die Momentangeschwindigkeit.

\frac{s}{t}

ist die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke.

-Rosa- aktiv_icon

14:11 Uhr, 18.05.2014

Hallo prodomo,

ich mache Fernabitur. Das ist sehr schwer für mich, da ich mein ganzes Wissen nur über Hefte erlange und da auf das "Erklärungstalent" des Verfassers angewiesen bin. Die meisten Hefte sind in einer Sprache verfasst, die ehe ein Student verstehen muss, als ein Schüller, der den Stoff gerade lernt. Die längeren Pausen, in denen man andere Hefte bearbeiten muss, tragen auch nicht gerade zum Verständnis bei.

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Kannst du mir eine ähnliche Beispielaufgabe nennen bei der ich aber

cos

bräuchte als Konstante?

Grüße
Rosa

prodomo aktiv_icon

17:37 Uhr, 18.05.2014

Bei der schiefen Ebene (Rampe) ist

m \cdot g \cdot cos (α)

die Normalkraft,

d . h

. die Kraft, mit der ein Körper gegen die Oberfläche der Rampe drückt. Die kommt mit ins Spiel, wenn die Reibung berücksichtigt wird. Das ist etwa der Fall, wenn du an einen aufgeschütteten Sandhaufen denkst. Der nimmt von selbst die Form eines Kegels an. Dabei gilt für die Hangabtrienskraft

m \cdot g \cdot sin (α)

und für die Reibung

m \cdot g \cdot cos (α) \cdot μ

. Gleichsetzen im Fall, dass ein Sandkorn sich gerade noch am Abhang hält, ergibt

\frac{sin (α)}{cos (α)} = μ

bzw.

tan (α) = μ

. Deswegen hängt die Steilheit des Kegels von der Reibung ab, die wiederum ist bei lockerem Seesand kleiner als bei nassem Sand, der einen höheren, spitzeren Kegel ergibt.

Stephan4

19:26 Uhr, 18.05.2014

Hi Rosa,

v = \frac{s}{t}

findet auch in diesem Beispiel Anwendung, nämlich in Punkt

c

als Durchschnittgeschwindigkeit.

Die ist nach 5 Sekunden

12,2625

(Punkt

c),

aber die Momentangeschwindigkeit

24,525

(Punkt

d)

.

Mach mal eine Grafik von

s (t)

. Es lohnt sich!

Verbinde darauf den Punkt für

t = 0

und

t = 5

. Der Anstieg dieser Linie ist die Durchschnittgeschwindigkeit.

Und dann zeichne eine Tangente an die Grafik im Punkt für

t = 5

. Der Anstieg dieser Linie ist die Momentangeschwindigkeit und ist steiler als die Linie der Durchschnittgeschwindigkeit.

hast Du dazu noch Fragen? Stell die Grafik hier als Bild rein, dann können wir weiter reden.

Noch was:
Da steht Sinus von

30

Grad. Da hätte auch

0,5

stehen können, wäre das selbe.

Wenn in einer anderen Aufgabe

cos

steht, na dann ist es eben cosinus.

-Rosa- aktiv_icon

11:34 Uhr, 20.05.2014

Hallo prodomo,

danke Dir für das nette Beispiel.

Ich verstehe es so, dass wie in deinem Beispiel so auch in der Aufgabenstellung es sich um eine Formel handelt und deswegen sin oder

cos

nie abgeleitet werden darf, sondern nur als eine Konstante geschrieben werden soll.

Grüße
Rosa

Stephan4

13:46 Uhr, 20.05.2014

Nur, wenn das Argument des

cos,

also das, worauf sich der

cos

bezieht, die Variable NICHT enthält.
zB:

y (x) = x^{2} \cdot

cos(30°)

Sonst schon. zB:

y (x) = cos (3 x)

-Rosa- aktiv_icon

01:51 Uhr, 21.05.2014

Hallo Stephan4,

danke Dir für Deine Erklärungen und für Deine Geduld;-)

Ich konnte die Grafik nicht so zeichnen wie Du mir empfohlen hast:-( ich weiß nicht wie ich auf den Tangens hier komme. Ich weiß das der bei

10 s 49,05 \frac{m}{s}

beträgt, aber wie ich das grafisch darstellen kann ist mir ein Rätsel.

Grüße
Rosa

prodomo aktiv_icon

17:11 Uhr, 21.05.2014

Du hast in der Grafik die Achsen vertauscht.

s

ist eine Funktion von

t,

also gehört

s

auf die senkrechte Achse und

t

auf die waagerechte. Nur dann entspricht die Tangentensteigung der Momentangeschwindigkeit und die Sekante der Durchschnittsgeschwindigkeit.

-Rosa- aktiv_icon

02:04 Uhr, 22.05.2014

Hallo,

hier meine überarbeitete Skizze:-)

Grüße
Rosa

prodomo aktiv_icon

14:01 Uhr, 22.05.2014

Jetzt passt es. Allerdings hast du eine kleine Ungenauigkeit eingebaut, als du auf

24,5 \frac{m}{s}

gerundet hast. Sonst kommt nämlich heraus, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit zur jedem Zeitpunkt gerade der halben Momentangeschwindigkeit entspricht, sofern

s (0) = 0

und

v (0) = 0

waren, also aus der Ruhelage gestartet wurde.

-Rosa- aktiv_icon

20:29 Uhr, 22.05.2014

Hallo prodomo
Hallo Stephan4

ich freue mich darüber, dass ich die Aufgabe jetzt verstehen kann und mir sogar zutraue ähnliche (fast) alleine lösen zu können. Die Skizze zu machen hat viel für mein Verständnis beigetragen und außerdem hat das Lernen mit Eurer Hilfe wirklich viel mehr Spaß gemacht.

Ich bedanke mich dafür

Grüße
Rosa

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