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Ableitung/ binomische Formel?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, binomische Formel

littleRed aktiv_icon

16:47 Uhr, 02.11.2009

hallo

ich lerne gerade für die mathe-klausur und beschäftige mich gerade mit ableitungen.
genrell dachte ich,man braucht für die umformung eine binomische formel, wahrscheinlich auch bei dieser aufgabe (hier aus dem forum):
x³-4x

allerdings weiß ich nicht, wie man das umformt.
meine lösung war:

x \cdot x \cdot x - 4 x \Rightarrow

x \cdot x \cdot x - 4 x \div

x1-xo
(ich weiß nicht, wie man zahlen tiefer stellt)

\Rightarrow

differenzenquotient x1²-4

nun, ich weiß, dass das falsch ist, aber nicht, wo der denkfehler ist. bitte helft mir. vielen dank

littleRed

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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anonymous

16:55 Uhr, 02.11.2009

also ersteinmal:

warum du da was umstellen willst verstehe ich nicht:

denn

\frac{d}{d x} \cdot (x^{3} - 4 x) = \frac{d}{d x} \cdot x^{3} - \frac{d}{d x} \cdot 4 x = 3 x^{2} - 4

aber die binomische Formel ist hier:

x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2)

littleRed aktiv_icon

17:06 Uhr, 02.11.2009

hallöchen :-)

danke für die schnelle antwort.
das was nach denn: steht, habe ich nicht verstanden (rauskopieren funktioniert nicht und ich kann mir die funktion nicht merken um sie abzuschreiben....)

was ist d?
aber die binomische formel werde ich mir nochmal genauer ansehen, vllt verstehe ich es ja dann.

anonymous

20:47 Uhr, 02.11.2009

damit ist die ableitung gemeint:

\frac{d}{d x} \cdot f (x) = \frac{d f}{d x} = f' (x)

und wenn du nun eine funktion

f (x)

ableiten willst, die aus der summe von 2 einzefunktionen besteht, kannst du die getrennt ableiten. das ist alles.

Szerith aktiv_icon

18:00 Uhr, 06.11.2009

f (x) =

x³

- 4 x

?
Die erste Ableitung ist:

f' (x) =

3x²

- 4

Es gibt eine Ableitungsregel, die bessagt

f (x) = x^{n} \to f' (x) = n \cdot x^{n - 1}

Da die beiden "Teilfunktionen" durch ein Minus getrennt sind, kann man die einzeln ableiten und das müsste rauskommen.

littleRed aktiv_icon

18:01 Uhr, 06.11.2009

also, ich habe mal versucht weiter zu rechnen...
x³-4x
f'=(x0³-4x0)-(x1³-4x1)/x1-x0
die eins und die null sollen jeweils tiefer gestellt sein und wie man einen bruchstrich macht, verstehe ich auch nicht....

so, dann soll ich das zusammenfassen:
f(x1³-x0³)-4*(x1-x0)/

x 0 - x 1

ähm, dann ist da ne binomische formel:

(x1-x0)*(x1²-2x1-x0+x0²)/

x 1 - x 0

so hab ich mir das gedacht....in der lösung steht es anders, aber ich weiß nicht, warum...
vielleicht kann mir ja jemand helfen...:-)
danke

littleRed

littleRed aktiv_icon

18:07 Uhr, 06.11.2009

gilt diese ableitungsregel immer?

Szerith aktiv_icon

18:28 Uhr, 06.11.2009

Immer in ähnlichen Fällen, sobald allerdings Multiplikation oder Division

o

.ä. dazukommt, muss man die anderen Regeln bemühen.
Ist in diesem Fall aber nicht nötig :-)

anonymous

19:11 Uhr, 06.11.2009

herrjeeee nun weissich was du da machen willst....^^ und warum du ne binomische formel haben willst!...

die ableitung ist definiert über den grenzwert der sekantensteigung:

sagen wa

x_{0}

ist

x

und dein

x_{1}

ist einfach

h

von

x

entfernt also

x + h

(so gehts schneller und brauchst auch keine binomischen formeln!)

also..erstmal die steigung zwischen

x_{0}

und

x_{1}

ist ja definiert als:

\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

.

nun die sachen von eben einsetzen:

\frac{f (x + h) - f (x)}{x + h - x}

= \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

so nun mal einsetzen..f(x)=x^3-4x

also

f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 4 (x + h)

{(x + h)}^{3}

kann man entweder zu fuß ausrechnen oder mithilfe des pascalschen dreiecks oder diesen ganzen sachen:

{(x + h)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}

das sieht zwar nun beim kompletten einsetzen etwas lang aus..aber das passt schon.

soo

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 4 x - 4 h - x^{3} + 4 x}{h}

nun fallen

x^{3}

und

4 x

raus und man kann das

h

ausklammern und kürzen:

was übrig bleibt ist

3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4

so das ist ja nun nur die steigung zwischen den beiden punkten umgeformt.

die ableitung ist ja definiert, dass der abstand zwischen den beiden punkten unendlich klein wird.

wenn nun das

h

also 0 wird bleibt übrig:

3 x^{2} - 4

was man genau mit der erwähnten ableitungsregel rausbekommt (man macht das ja nicht jedes mal für jede funktion)..

wenn dus nicht mit

x

und

x + h

machst sondern mit

x_{1}

und

x_{2}

und nachher den grenzwert von

x_{1}

gegen

x_{2}

bildest kommt das gleiche raus, nur da musst du viel mehr umformen weil du ja eben nicht unten nur das

h

stehen hast, was sich bei der methode immer kürzen lässt (zumindest bei polynomen), sondern du den ausdruck oben so umformen musst, dass du das

x_{2} - x_{1}

im nenner kürzen kannst.

littleRed aktiv_icon

16:38 Uhr, 08.11.2009

dankeschön! :-D)

...das ist diese h-methode, oder?

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