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Ableitung der e-Funktion und ln-Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e, ln

hokage aktiv_icon

07:21 Uhr, 20.01.2010

Hi Leute,

Ich habe hier schön öfter mal gepostet und immer Hilfe bekommen :-D)
Das klappt dieses mal also bestimmt wieder^^

Ich bin zur Zeit in den Staaten (Auslandsschuljahr

11

Klasse) und bin hier in AP Calculus. Bisher bin ich auch immer ganz gut mitbekommen, aber jetzt verstehe ich so ein paar grundlegende Dinge nicht...

Das Thema im Augenblick sind Exponenzial- und Logarithmusfunktionen und deren Ableitungen. Außerdem geht es auch noch um Umkehrfunktionen

(f (x) = e^{x}, f^{- 1} (x) = ln (x)

Es ist ja allgemein bekannt, dass wenn

f (x) = e^{x}, f' (x) = e^{x}

ist.
Ich habe auch mal versucht das ganze herzuleiten, aber as hat nicht so hingehauen...

Hier mal mein Ansatz mit der h-Methode:

lim (h \to 0)

\frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}

= \frac{e^{x} \cdot e^{h} - e^{x}}{h}

= e^{x} (\frac{e^{h} - 1}{h})

Und hier weiß ich jetzt halt nicht mehr weiter...
Im Grunde muss dieser Teil

\frac{e^{h} - 1}{h}

dann ja 1 ergeben.
Wenn ich dann

h

gegen 0 gehen lasse und

z . B

0,0001

einsätze, dann kommt auch

1,00005

raus. Daraus schließe ich jetzt einfach mal, dass oben gesagtes stimmt.

Mich würde aber interessieren, ob ich das noch genauer machen kann. Also ohne für

h

eine möglichst kleine Zahl einzusätzen.
Wie bestimme ich also hier den Grenzwert?

Ich hoffe ihr versteht, was ich meine^^

Meine zweite Frage dreht sich um das Thema Umkehrfunktionen.

Ich habe folgende e-Funktion:

f (x) = e^{\frac{x}{3}}

In den Lösungen steht, dass die Umkehrfunktion

f^{- 1} (x) = ln (x^{3})

lautet.
Dem kann ich gerade nicht so ganz folgen...
Ich frage mich wie das

(/ 3)

in der Umkehrfunktion zu

(^3)

wird.

mein Ansatz:

y = e^{\frac{x}{3}}

x = e^{\frac{y}{3}}

y = ln (x^{3}) \to

Diesen Schritt verstehe ich nicht.

Wenn ich nur

y = e^{x}

habe, dann verstehe ich alles, denn

x = e^{y}

\Leftrightarrow y = log (e

hoch was ist

x) (\to

Wie kann ich hier im Forum, die richtige log Schriebweise anwenden?)

\Leftrightarrow y = ln (x)

Fazit: Was passiert im Einzelnen mit der 3? Ich hoffe mir kann das jemand nahe bringen :-P)

Danke schonmal für eure Hilfe :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

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Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

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Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

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Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

IchMagMatheNicht aktiv_icon

08:22 Uhr, 20.01.2010

Guten Morgen,

also beim ersten Problem kann ich dir die Regel von l'Hospital anbieten:

http//de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

Somit kann man schreiben:

lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = lim_{h \to 0} e^{h} = 1

Allerdings gibt es dabei das Problem, dass du das, was du beweisen willst, verwendest, indem du den Zähler ableitest. Ne andere Idee hab ich aber nicht.

Zur zweiten Frage:

y = e^{\frac{x}{3}}

\ln y = \frac{x}{3}

x = 3 \cdot \ln y = \ln y^{3}

Das ist ne einfache Regel beim ln, dass man Exponenten als Faktor davor schreiben kann bzw. wie hier umgekehrt.
http//www.mathematik.net/logarithmen/L02s30.htm

Grüße
F.

hokage aktiv_icon

08:36 Uhr, 20.01.2010

Danke dir ;-)

Die 2te Frage hat sich somit geklärt.
Von l'hopital habe ich zwar schon gehört, aber den hatten wir im Unterricht noch nicht.
Kann man die Herleitung auch ohne l'hopital machen?
Wenn ja, wie sieht diese dann aus?

grüße

Edddi aktiv_icon

09:03 Uhr, 20.01.2010

...Regel von l'Hospital ist gut, aber für diese musst du ja gerade

(e^{h} - 1)

ableiten und somit

e^{h}

ableiten...aber gerade das will er ja herleiten.

Nutze

f' (x) = \frac{1}{g' (y)}

mit

g (y)

als Umkehrfunktion.

Den Beweis dafür erspar' ich mir aber.

Somit gilt:

y = e^{x}

und somit

x = ln (y)

(e^{x})' = \frac{1}{(ln (y))'} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y = e^{x}

;-)

hokage aktiv_icon

05:07 Uhr, 21.01.2010

Hey,

Danke für die Antwort :-D)

Diesen Teil verstehe ich auch, kein Problem:

y = e^{x}

und somit

x = ln (y)

Ich würde dann aber schreibe:

(e^{x})' = (ln (y))' = \frac{1}{y} = \frac{1}{e^{x}}

Ich denke es harpert also hier dran:

Nutze

f' (x) = 1 g' (y)

mit

g (y)

als Umkehrfunktion.
Den Ausdruck verstehe ich nicht so ganz:

Vielleicht wäre der Bewis doch ganz gut ;-) (Sorry)

Danke dir schonmal für deine Hilfe :-D)

hokage

hagman aktiv_icon

07:47 Uhr, 21.01.2010

Zur Bestimmung von

lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h}

müsstest du mal sagen, wie

e^{x}

definiert wurde.

Edddi aktiv_icon

07:54 Uhr, 21.01.2010

..bedenke, das

f' (x)

nach

x

und

g' (y)

nach

y

abgeleitet wird!

es gilt also

f' (x) = \frac{d f (x)}{d x} = \frac{d y}{d x}

wobei

g' (y) = \frac{d g (y)}{d y} = \frac{d x}{d y}

somit:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

bzw.

\frac{d f (x)}{d x} = \frac{1}{\frac{d g (y)}{d y}}

=bzw.

f' (x) = \frac{1}{g' (y)}

Beispiel:

y = x^{2}

somit

y' = 2 \cdot x

x = \sqrt{y}

somit

x' = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{y}}

wegen

x' = \frac{1}{y'}

gilt:

2 \cdot x = \frac{1}{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{y}}} = 2 \cdot \sqrt{y}

somit

x = \sqrt{y}

und

x^{2} = y

Oder eben mit

e^{x} :

y = e^{x}

...die Ableiteung wissen wir jetzt mal nicht ???

x = ln (y)

wegen

x' = \frac{1}{y}

und

y' = \frac{1}{x'} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y

das war's schon

y' = y!!!!!

und somit

(e^{x})' = e^{x}

...so simpel wie's aussieht ist es auch...sollt' man garnicht denken.

;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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