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Ableitung der euklidischen Norm

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: 2er-Norm, Ableitung, Differentiation, euklidische Norm, Norm

Shadowhunter123

18:57 Uhr, 03.08.2012

Hallo,

ich bin mir mit dem Ergebnis bei der folgenden Aufgabe nicht so ganz sicher.
Gesucht ist die Ableitung der Funktion

f (x) = sin ({| | x (i) | |}^{2})

wobei

| | x (i) | |

die 2er-Norm auf dem

ℝ^{n}

darstellen soll und

x

dementsprechen über

i

von 1 bis

n

summiert wird.

Mein Rechenweg sieht so aus.
Zuerst mal die Definition für die Euklidische Norm einsetzen und die Wurzel rausshauen:

f (x) = sin (\sum ({| x (i) |}^{2}))

Nun bilde ich die Ableitung mit

\frac{d}{d x}

\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} (sin (\sum {| x (i) |}^{2}) = 2 | x | \cdot cos (\sum ({| x (i) |}^{2})

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} f (x) = 2 \cdot cos (\sum ({| x (i) |}^{2}) - 4 x^{2} \cdot sin (\sum ({| x (i) |}^{2})

Stimmt das so?
Ich habe vor allem Probleme mit den Indizes. Normalerweise müsste ich ja in jede i'te-Richtung einzeln/partiell ableiten und anschließend wieder über

i

summieren. Mit meiner Rechnung habe ich das aber abgekürzt und mir diesen Zwischenschritt "gespart". Ist das formell so noch richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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19:45 Uhr, 03.08.2012

Hallo,
Ich bersuche mal dir zu helfen.Vorher noch eine kleine Frage: Was ist

x {(i)}_{i = 1, ..., n}

? Also es muss ja ein Vektor sein, die Komponenten sind logischerweise nicht

x (1), ..., x (n),

denn das müssten ja auch nochmsl Vektoren sein. Aber du kannst

\frac{\partial f}{\partial x}

doch in die Summe ziehen und dann die Regel für die Ableitung von

f (g (x))

anwenden.

mfG M.

Shadowhunter123

19:48 Uhr, 03.08.2012

Das mit dem

x (i)

ist vielleicht etwas verwirrend. Ich habe auf dem Formelblatt einfach nur nicht gefunden, wie man Indizes macht.

i

ist also kein Parameter und

x

keine Funktion.

i

ist einfach nur der Index der jeweiligen x-Komponente!

Genau. "Innere mal äußere Ableitung" ist das Stichwort und ich dachte eigentlich, das hätte ich genauso gemacht da oben. Oder etwa nicht?

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20:03 Uhr, 03.08.2012

Hallo, es gibt doch nur die Norm eines Vektors? Wenn ja:

\Rightarrow

x=vektor und wir können

x

durch

{(a, b)}^{T}

ersetzen ( ich habe die Transponation benutzt, weil ich nicht weiß wie man hier Spaltenförmige Vektoren schreibt ). Jetzt müsenn wir

\frac{\partial}{\partial x} \sum_{i = 1}^{n} sin ({| | x_{i} | |}^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x} sin ({| | x_{i} | |}^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x} sin (x_{i 1}^{2} + ... + x_{i n}^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} cos (...) \cdot . .

.

Rechne mal aus!

x_{i}

="x_i" nur ohne die Anführungszeichen.

mfG M.

Shadowhunter123

20:18 Uhr, 03.08.2012

Ja,

x

ist natürlich ein Vektor, da die Abbildung ja vom

ℝ^{n}

in den

ℝ

geht und der Index

i

von 1 bis

n

läuft.

Das habe ich ja so berechnet. Nur ist mir ein Fehler in meiner Rechnung aufgefallen...
Hier nochmal mein ausführlicher korrigierter Rechenweg:

\frac{d}{d x} sin (\sum_{i} (x_{i}^{2})) = \frac{d}{d x} sin (\sum_{i} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ...

+ x_{n}^{2}))

Nun leite ich das ab. Die Innere Ableitung ist:

\frac{d}{d x} (\sum_{i} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ...

+ x_{n}^{2})) = \sum_{i} (2 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + . .

+ 2 \cdot x_{n})) = 2 x

(hier hatte ich oben den Fehler gehabt und den Betrag "mitgeschleppt", da ich die Definition der Euklid-Norm falsch nachgeschaut habe... so müsste das aber eher stimmen, glaube ich und ohne den Betrag ist es natürlich auch einfacher zum Ableiten.)

So... äußere Ableitung ist einfach der Cosinus mit gleichem Argument.

Demnach ist

\frac{d}{d x} sin (\sum_{i} (x_{i}^{2})) = 2 \cdot x \cdot cos (\sum_{i} (x_{i}^{2}))

Bis auf die korrigierte Schreibweise für den Index (danke für den Tipp!) und den fehlenden Betragsstrichen bei dem

x,

ist das ja wie im ersten Post.

Die zweite Ableitung analog und entspricht der im ersten Post:

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} = 2 \cdot cos (\sum_{i} (x_{i}^{2})) - 4 \cdot x^{2} \cdot sin (\sum_{i} (x_{i}^{2}))

Also war meine Rechnung soweit schon richtig?

Als Tipp:
"((a),(b),(c))"

= (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

;-)

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06:52 Uhr, 04.08.2012

Hallo,
Ich habe in meinem oberem Beitreg die Komponenten von

x_{i}

einfach mit

x_{i i}

bezeichnet. Dann habe ich die
"

\partial

's" einfach in die Summe gezogen, ich weiß nicht ob du die Summe auch in den sin. und

cos

. ziehen darfst, und bin mir bei deiner Rechnung nicht so sicher. Eventuell ist sie richtig, aber das weiß ich nicht. Zumindest würde ich statt

2 x = \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i}

schreiben, diese ableitung sollte richtig sein, aber ob dss mit dem cls. uch stimmt weiß ich auch nicht.

mfG

M

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07:47 Uhr, 04.08.2012

Hallo,
Ich kann idr mal mein Ergebnis zeigen:

f^{'} (x) = 2 \sum_{i = 1}^{n} cos ({| | x_{i} | |}^{2}) (x_{i} 1 + ... x_{i n})

.

mfG M.

Shadowhunter123

12:33 Uhr, 04.08.2012

Jetzt verstehe ich deine Bedenken!

Ich musste jetzt auch erstmal überlegen, ob ich die Summe wirklich in den Sinus hineinziehen darf... das habe ich bei meiner schriftlichen Rechnung gemacht, ohne groß drüber nachzudenken.
Ich bin zu dem Entschluss gekommen, dass ich das darf. Schließlich befindet sich die komplette Norm als Argument im Sinus.

f (x) = sin ({| | x | |}^{2}) = sin ({(\sqrt{\sum_{i} x_{i}^{2}})}^{2}) = sin (\sum_{i} x_{i}^{2})

Das sollte so passen.

Und

2 x

ist ja nicht anderes als

2 \cdot \sum_{i} x_{i}

.
Da hier jede relevante Komponente des Vektors aufaddiert wird, ist das entstehende ja gerade der x-Vektor.

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12:50 Uhr, 04.08.2012

Hallo,
Ich kann dir immer noch nicht sagen ob du die summe in den Sinus ziehen darfst. Aber wenn unsere Lösungen übereinstimmen, ist es warscheilich höchstwarscheinlich, dass die Ergebnisse richtig sind.

mfG M.

Shadowhunter123

12:55 Uhr, 04.08.2012

Ich verstehe nicht, wie du überhaupt darauf kommst, dass man die Summe vor den Sinus schreibt.

Die Summe kommt doch dadurch rein, dass wir die Definition für die euklidische Norm einsetzen. Da die Norm im Sinus steht, steht auch die Summe im Sinus. Oder habe ich da einen Denkfehler drin?

Mathematica aktiv_icon

13:01 Uhr, 04.08.2012

Hallo,
Man kann für den Norm auch die Def. einsetzen, nur dann hätte man 2 Summen:

\sum \sum . .

. .
Hast du denn das selbe Ergebnis?

mfG M.

Shadowhunter123

13:06 Uhr, 04.08.2012

Nein, unsere Ergebnisse stimmen nicht überein.
Schließlich gilt

sin (x + y) \neq sin (x) + sin (y)

Die mir vorliegende Definition für die Euklidische Norm ist:

| | x | | = \sqrt{\sum_{i} x_{i}^{2}}

Eine andere Definition kenne ich nicht. Insbesondere keine mit 2 Summen.

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13:30 Uhr, 04.08.2012

Hallo,
Deine Def. ist auch vollkommen richtig, ich kenne auch keine andere. Aber wir müssen ja

\frac{\partial}{\partial x} \sum_{i = 1}^{n} sin ({| | x_{i} | |}^{2})

berechnen. Wenn man die Summe in den Sinus ziehen dürfte, vorher die Def. einsetzt, erhält man

\frac{\partial}{\partial x} {sin \sum}_{i = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i i})

und hat eine Doppelsumme.
Wie heißt denn dein Ergebnis?

mfG M.

Shadowhunter123

18:30 Uhr, 04.08.2012

"Aber wir müssen ja

[...]

berechnen"

Nein, wie kommst du darauf? Das Summenzeichen muss wenn dann ganz vorne stehen:

Wenn wir das aufteilen indem wir die partielle Ableitung in jede Richtung bilden (das ist glaube ich das, was du meinst), dann müssen wir schreiben:

\sum_{i} \frac{d}{{d x}_{i}} sin ({| | x | |}^{2})

= \sum_{i} \frac{d}{{d x}_{i}} sin (\sum_{i} x_{i}^{2})

Schreiben wir die partiellen Ableitungen ausführlich:

= \frac{d}{{d x}_{1}} sin (\sum_{i} x_{i}^{2}) + \frac{d}{{d x}_{2}} sin (\sum_{i} x_{i}^{2}) + . .

+ \frac{d}{{d x}_{n}} sin (\sum_{i} x_{i}^{2})

Wichtig hier ist: Wir bilden zwar die i-te Ableitung, betrachten dafür aber trotzdem ALLE

n

Komponenten im Argument des Sinus. Deshalb bleibt das Summenzeichen im Sinus stehen.
Bilden nun die Ableitungen nach der Kettenregel. Wichtig ist hier, dass wenn wir die i-te Komponente im Sinus ableiten, NUR diese NICHT 0 wird! (Denn:

\frac{d}{{d x}_{i}} (x_{1} + x_{2} + . .

x_{i} + . .

+ x_{n}) = 0 + 0 + . .

+ 1 + 0 + . .

+ 0)

Also:

= 2 x_{1} \cdot cos (\sum_{i} x_{i}^{2}) + 2 x_{2} \cdot cos (\sum_{i} x_{i}^{2}) + . .

+ 2 x_{n} \cdot cos (\sum_{i} x_{i}^{2})

Wir wissen dass

x_{1}

bis

x_{n}

die Komponenten des Vektors sind. Also:

= 2 \cdot x \cdot cos (\sum_{i} x_{i}^{2})

Und das ist das Ergebnis für meine erste Ableitung.
Die zweite Ableitung erfolgt dann nach dem selben Prinzip.
Oder liege ich falsch?

hagman aktiv_icon

18:59 Uhr, 04.08.2012

Offenbar ist die Verwiirung unddaruas die Doppelsumme durch missverständliches Wiedergeben der Aufgabenstellung entstanden, die nämlich eher

f : ℝ^{n} \to ℝ, f (x) = sin ({| | x | |}^{2})

lauten dürfte.
Daraus wird mit der Definition von

| | . | |

dann

f (x) = sin (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})

.
Die partielle Ableitung

\frac{\partial}{\partial x_{k}}

hiervon ist dann einfach

\frac{\partial}{\partial x_{k}} f (x)

= \frac{\partial}{\partial x_{k}} sin (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})

= (\frac{\partial}{\partial x_{k}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) \cdot sin' (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})

= \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial}{\partial x_{k}} x_{i}^{2}) \cdot sin' (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})

Für

i = k

ist

\frac{\partial}{\partial x_{k}} x_{i}^{2} = 2 x_{k},

ansonsten ist es 0.
Somit

\frac{\partial}{\partial x_{k}} f (x) = 2 x_{k} \cdot sin' (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) = 2 x_{k} \cdot cos ({| | x | |}^{2})

.

-

Am besten merkt man sich

\frac{\partial}{\partial x_{k}} {| | x | |}^{2} = 2 x_{k}

. Dann klappt es nämlich auf direktem Wege mit der Kettenregel:

\frac{\partial}{\partial x_{k}} sin ({| | x | |}^{2}) = 2 x_{k} \cdot cos ({| | x | |}^{2})

.

-

Noch schöner geht es mit dem ganzen Gradienten auf einmal und der Regel

\nabla 〈 u, v 〉 = \nabla u \cdot v + \nabla v \cdot u,

woraus sich sofort

\nabla {| | x | |}^{2} = \nabla 〈 x, x 〉 = 2 x

und somit

\nabla f (x) = 2 x cos ({| | x | |}^{2})

ergibt.

Shadowhunter123

19:05 Uhr, 04.08.2012

Super! Dann war meine Rechnung zwar schon richtig (nachdem ich sie oben noch einmal korrigiert habe), nur habe ich mich hier missverständlich ausgedrückt.
Ich bin mir sicher, hättet ihr meine Rechnung auf'm Blatt Papier gesehen, wäre nicht so eine Diskussion entstanden.

Danke für die Hilfe!

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