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Ableitungsbildung von f(x) = 1 / x² - 1?

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Differentiation

airecrack89 aktiv_icon

01:06 Uhr, 01.11.2011

Es soll eine gebrochen-rationale Funktion f(x) analysiert werden. Zeigen Sie, dass die 1., 2., 3., Ableitung von f(x) wie folgt lautet:

f(x) = $\frac{1}{x² - 1}$

f'(x) = $- 2 \frac{x}{(x² - 1) ²}$

f''(x) = $2 \frac{3 x² + 1}{(x² - 1) ³}$

f'''(x) = $- 24 \frac{x (x² + 1)}{(x² - 1) h o c h 4}$

Ich habe schon die erste Ableitung bilden können. Nun hänge ich auf dem Weg fest, um von der f'(x) auf die f''(x) zu kommen. Ich habe schon den Ansatz der Produktregel und danach die Kettenregel bzw. Produktregel danach Quotientenregel danach Kettenregel probiert und scheitere einfach nur. Bitte um einen hilfreichen Ansatz für die Lösung der Aufgabe. Vielen Dank.

Hier mein Ansatz:

Also ich habe die Quotientenregel angewandt.

f'(x) = u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)
____________________
v(x)²

u = x u' = 1 v = (x²-1)² v' = 4x(x²-1)

eingesetzt:

1 * (x² - 1)² - x * 4x (x²-1)
______________________
(x²-1)^4

...ich habe schon alles ausprobiert, aber ich komme nicht auf die f''(x) mit diesem Weg.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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prodomo aktiv_icon

06:18 Uhr, 01.11.2011

Bitte benutze den Formeleditor korrekt. So kann dir niemand helfen. Ist

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}

oder

f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 1

? Gib nur 1. oder 2. zurück !

airecrack89 aktiv_icon

10:20 Uhr, 01.11.2011

Hallo vielen Dank für deine Antwort. Ich habe die Gleichungen angepasst.

prodomo aktiv_icon

10:54 Uhr, 01.11.2011

Beim Schritt von

f'

f''

darft du den Term

{(x^{2} - 1)}^{2}

auf gar keinen Fall ausquadrieren, sondern musst ihn als

2 \cdot (x^{2} - 1) \cdot 2 \cdot x

ableiten und dann darauf achten, dass sich die Klammer

(x^{2} - 1)

ausklammern und kürzen lässt !

y' = - \frac{2 \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

y'' = - \frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} - 2 \cdot (x^{2} - 1) \cdot 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{4}} = - \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) - 8 \cdot x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = \frac{6 \cdot x^{2} + 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 3 \cdot \frac{x^{2} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}

f'''

wird analog gebildet.

airecrack89 aktiv_icon

11:09 Uhr, 01.11.2011

Ich habe nochmal einen Anderen Weg probiert und es geht auch auf. Vielen Dank für die Hilfe.

f'(x) = - 2 * x / (x²-1)²
Quotientenregel:
f''(x) = - 2 [ (x²-1)² * (1) - (x) * 2 (x² - 1) 2x] / (x² - 1)^4
Einmal "(x²-1)" kürzen:
f''(x) = - 2 [ (x²-1) - 4 x²] / (x² - 1)³
f''(x) = - 2 [ - 3 x² - 1 ] / (x² - 1)³
= 2 ( 3x² + 1 ) / (x² - 1)³

airecrack89 aktiv_icon

12:25 Uhr, 01.11.2011

So nun geht aber weiter,

von der entstanden Ableitung

f'' (x)

soll nun die Ableitung

f''' (x)

gebildet werden.

f'' (x) = [2 \cdot

3x²+1

]

/ (x²-1)³

f''' (x) = [- 24 \cdot

x(x²+1)

]

/ (x²-1)^4

Also ich habe wieder die Quotientenregel angewandt.

f' (x) = u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

v(x)²

u =

3x²

+ 1

u' = 6 x

v =

(x²-1)³

v' =

6x(x²-1)² ---Kettenreregel-->

v'' =

6(5x^4-6x²+1)

f' (x) 2 \cdot [(6 x \cdot

(x² - 1)³

- (6 (5 x^{4} -

6x²

+ 1) \cdot

(3x²+1))

]

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

(x²-1)^5

..aber diesem Punkt hänge ich...

DmitriJakov aktiv_icon

13:29 Uhr, 02.11.2011

Zwei Bitten:
Verzichte auf die Exponenten mit Strg+2 und Strg+3, sonst streikt der Formelinterpreter hier. Benutze statt dessen "^2" und "^3"

Und zweitens: Brüche erstellt der Formelinterpreter hier selbständig. Arbeite mit der Vorschau, Klammern und dem "/" Zeichen.

Wenn

f'' (x)

so aussieht:

f'' (x) = 2 \frac{3 x^{2} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}

Dann ist

v = {(x^{2} - 1)}^{3}

und

v'

ist dann:

v' = 3 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 2 x = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}

Was Du danach mit "Kettenregel

- \to v''

versucht hast entzieht sich meinem Verständnis. Auf jeden Fall ist es in diesem Zusammenhang unnötig und damit auch falsch.

Aber die anderen drei Elemente

u, u'

und

v

waren korrekt.

Zusammengesetzt wird alles zusammen:

f''' (x) = 2 \cdot \frac{6 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3} - (3 x^{2} + 1) \cdot 6 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{6}}

Nun kannst Du sehr schön sehen, dass man bei der Quotientenregel die Finger vom Ausmultiplizieren lassen soll ;-)

f''' (x) = 2 \cdot \frac{6 x (x^{2} - 1) - (3 x^{2} + 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}

f''' (x) = 2 \cdot \frac{6 x (x^{2} - 1 - 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}

f''' (x) = 2 \cdot \frac{6 x (- 2 x^{2} - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}

f''' (x) = - \frac{24 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}

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