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Bedeutung der Symbole dy/dx
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Ableitung, Differentiation, Notation
 
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Hallo liebe Mitglieder des Matheforums, Heute geht es mir um eine Frage, die viele von euch wahrscheinlich dazu bringt, die Augen zu verdrehen, doch ich habe sie bereits recherchiert und bin auf keine zufriedenstellende Antwort gestoßen, weswegen ich mir hier Erleuchtung erhoffe. Gegeben sei beispielsweise die Funktion x² (bzw. x²). Meine Frage betrifft nun die Notation für die Ableitung dieser Funktion. Einerseits kann man natürlich einfach schreiben, häufig liest man aber auch betrachte ich einfach als Operator und somit ungesättigten Ausdruck, der eine Funktion benötigt). Ich interpretiere den Ausdruck intuitiv folgendermaßen: beschreibt die Veränderung im Funktionswert für eine "sehr sehr kleine" (ja, BELIEBIG kleine) Veränderung im Inputwert, und diese Veränderung im Inputwert bezeichnet . In unserem Beispiel: ist somit ist somit ist somit in diesem Fall Formal sauber lässt sich natürlich bekanntermaßen einfach folgendermaßen definieren: wobei den Gedanken ausdrückt, dass beliebig klein sein kann. Nun zu meiner eigentlichen Frage: Wenn einfach für steht, dann finde ich es doch sehr befremdlich, dass man häufig algebraisch manipuliert als sei es ein ganz normaler Bruch (häufig hört man zum Beispiel, dass . Nach meiner intuitiven Auffassung macht das natürlich Sinn, weil und einfach sehr kleine Zahlen und der Bruch einfach ihr Verhältnis ausdrückt, doch gegeben definiert "die Bedeutung" des Symboles komme ich da ins Straucheln. Um ein anderes Beispiel anzuführen: In einem Kurs ging es um die Substitutionsregel (die Details sind nicht relevant). Dann hieß es wir substituieren x²+1 mit (also u=x²+1). Dann wurde daraus plötzlich du da (x²+1)' und dann hieß es, man müsste jetzt nur noch durch teilen, um zu isolieren (du/2x . Insbesondere das letzte Beispiel macht mich sprachlos und lässt mich verständnislos zurück. Entschuldigt die Formatierung und die etwas vage Fragestellung, aber kann mir bitte jemand erklären, wofür genau nun steht, die intuitive oder die formale Auffassung, und inwiefern algebraische Manipulationen dieser (oder ähnlicher Symbole) erlaubt sind. VieleDank, Euer Michael |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Für mich sind sie spirituell, die Differentiale, und spirituell bedeutet soviel wie unerfindlich. Es ist eine Notation - Leibniz hielt sie für sinnvoll und hilfreich und viele stimmen ihm zu, fertig. Man kann mit ihnen rechnen, aber unter Vorbehalt. Die Bedeutung hast Du ja verstanden, die als betragsmäßig unendlich kleinem Dividend bzw. Divisor, deren Quotient aber reell ist. Durch den wohldefinierten Quotienten (die Ableitung besteht also eine Beziehung, die ein gewisses Rechnen legitimiert. Deine Rechnungen da sind aber falsch, denn ist eben genau nicht . Dein wie dann auch nicht . und sind keine reellen Zahlen, sondern Infinitesimalzahlen, siehe de.m.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl . Einen anderen haptischen Zugang bietet das Riemann Integral. Bei ist das halt das Relikt der Breite der Streifen, die bei den in das Integral übergehenden Treppenfunktionen aufsummiert werden (und keineswegs bedeutungslos, wie man mir doch tatsächlich in der Schule zu erzählen wagte). |
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Hallo Wenn ich ergänzen darf: Die Ableitung "y' " zu nennen ist ein wenig Schülerniveau, und eben am ehesten geeignet, wenn klar ist, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Die Bezeichnung erklärt eben auch, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Stell dir vor, du hättest die Gleichung und sprächst von ihrer Ableitung - kein Mensch könnte hieraus wissen, ob du nach ob du nach ob du nach oder vielleicht nach der Zeit ableiten wolltest. Die Bezeichnung dT/dp dagegen lässt eindeutig erkennen, wie du die Ableitung zu tätigen hättest. Bruchrechnung Es ist tatsächlich so, dass man in vielen Fällen mit Differenzialen rechnen, zB. dividieren oder multiplizieren kann. Wenn du weißt, dass die Geschwindigkeit ds/dt ist, dann kannst du tatsächlich mit durchmultiplizieren ds weiters auf beiden Seiten Integrieren: ds und erhältst sehr sinnvoll allgemeingültige Gleichungen, Relationen und Zusammenhänge. Wenn du mal mit Differenzialgleichungen zu tun bekommst, dann wirst du sehen und lernen, dass das sehr alltäglich wird. Dein Beispiel Substitution mit: Wenn du die Ableitung von nach der Variablen bildest, also sicherlich du/dx sieh an, dann brauchst du die Gleichung nur mit durchmultiplizieren, schon steht da: du Weil dem so ist, sprechen die Fachleute eben gleich von 'Differenzialen' und errechnen das du routiniert, auch ganz ohne unbedingt die erste Zeile oder 'Ableitung' vor Augen zu führen. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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