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Berechnung der max. Steigung
Schüler
Tags: Ableitung, Extrema berechnen, Funktion 3. Grades
 
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Hallo, eigentlich sollte es ja ganz leicht sein, aber irgendwo hängt's dann doch... Also im Intervall von [0;20] beschreibt die Funktion f(x)=0,002x^3-0,006x^2+5 die Böschung eines Straßendamms. Das benötigte Arbeitsgerät hat eine Steigfähigkeit von 57°. Berechne die max. Steigung der Böschung und entscheide ob das Arbeitsgerät die Böschung gefahrlos hinunterfahren kann. Steigung = 1. Ableitung: f'(x)= 0,006x^2-0,012x Da das Maximum der Steigung gesucht ist, suche ich also das Maximum von f'(x). Dazu bilde ich f''(x) und setze gleich 0: f''(x)=0,012x-0,012 0,012x-0,012 = 0 0,012x=0,012 x=1 Wenn ich das jetzt in die 3. einsetzen würde (bzw. die 2 Ableitung der Steigung) um auf MIN/MAX zu untersuchen ergibt das ein Minimum. Und setzte ich x=1 in f(x) ein ergibt die eine Koordinate die sicherlich kein MAX darstellt steigungsmäßig. Wo ist mein Fehler, was muss ich anders machen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Hallo, dann ist das Maximum an einem Rand des Definitionsbereichs, also in x=0 oder x=20. Gruß Stephan |
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Du hat den Wendepunkt gefunden. Da ist es am steilsten. Wie steil ist es da? |
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Am Wendepunkt ist die Steigung minimal! |
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Bei liegt ein Sattelpunkt vor, der bekanntlich die Steigung hat. |
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Woran erkenne ich, dass das MAX an einer der Intervallsgrenzen liegt? Wenn ich das errechnete x=1 in f'(x) einsetze, erhalte ich die Steigung dort, f'(1)=-0,006 m=tan(a) -0,006=tan(a) |tan^(-1) a= 34,4° (in Betragsstrichen) Aber laut Zeichnung kann x=1 doch auf keinen Fall die steile Stelle sein... |
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Genau, wie komme ich aber nun auf die steilste Stelle? Bei m=0 liegt die ja eher nicht :-) |
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Na, dann bleibt doch nur noch x=20. |
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Dann schau mal, wie bereits erwähnt wurde, am Rande des Def. |
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@Eva, wieso sollte bei x=1 ein Sattelpunkt sein? |
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liebe Eva88 . wie gross, glaubst du, sei ? @ cerberus08 . ? wenn wäre, und . wie gross ist dann ? |
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Dann wäre Alpha= 65.16 Grad Aber wie komme ich auf x=20??? Laut meiner Rechnung hatte ich nur ein Ergebnis, nämlich x=1.... |
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Also nochmal: das Maximum (Minimum) ist entweder an einer Nullstelle der Ableitung oder an einem Rand des Definitionsbereiches. |
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Mach mal eine Grafik. Dann wirst Du sehen, dass es immer steiler wird bei . Aber bei oder ist es noch steiler. Also kein Wendepunkt in Sicht. Nur das Ende des Definitionsbereiches in der Angabe. Bei da ist Schluss für unser Beispiel. |
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Verstanden habe ich das jetzt soweit, nur das mit dem Maximum beim Definitionsrand nicht? Ist das eine Regel, ein math. Gesetz, wo kann ich das nachlesen? Kapitel "Randwerte"? |
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Das ergibt sich aus dem konkreten Beispiel und der Grafik. |
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Eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a;b] definierte und in ]a;b[ differenzierbare Funktion hat ihr Maximum (Minimum) in a, b oder einer Stelle c mit f'(c)=0. Siehe Randextremum, Randmaximum oder Randminimum. |
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Alles klar, jetzt ist alles restlos beantwortet! Vielen Dank Euch allen! |
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