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Definition von zweiter Ableitung (Mehrdimensional)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, differenzierbar, Differenzieren, f(x), mehrdimensionale Analysis, zweite

MatheStudent123 aktiv_icon

16:18 Uhr, 28.05.2015

Hallo zusammen,

ich habe folgende Definition der zweiten Ableitung:

i)

Sei

U \subseteq ℝ^{n}

offen und

f : U \to ℝ^{m}

differenzierbar.

f

ist zwei Mal differenzierbar an einem Punkt

x \in U,

wenn zu jedem

h \in ℝ^{n}

die Abbildung

g_{h} : U \to ℝ^{m}

definiert durch

g_{h} (x) = f' (x) h

differenzierbar in

x

ist.
ii) Die Funktion

f'' (x) : ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ^{m}

definiert durch

f'' (x) (h, k) = {g'}_{h} (x) (k)

heißt zweite Ableitung von

f

bei

x

. Wenn

f : U \to ℝ^{m}

zwei Mal differenzierbar ist, dann ist

f'' : U \times ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ^{m}

Mit dieser Definition soll ich jetzt von

f : (0, 2 Π) \to ℝ^{2} : t \to (sin (t), cos (t))

die zweite Ableitung

f'' = ((t, h, k) \to f'' (t) (h, k))

und den Definitions- und Wertebereich angeben.

Was mich verwirrt sind diese ganzen

h, g, k,

usw. in den Klammern. Wieso schreibt man

f' (x) h

und nicht einfach

f' (x)

? Ich habe viele Definitionen der zweiten Ableitung gefunden, die alle auf der Hesse Matrix basieren, was ich ja recht gut verstehe. Aber ich soll die Ableitung mit der obigen Definition bestimmen. Kann jemand etwas Licht ins Dunkle bringen?!

Danke schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:27 Uhr, 28.05.2015

Ableitung ist eine lineare Abbildung. Wenn Du

f^{'} (x)

schreibst, ist es also die Abbildung gesamt, in einer bestimmten Basis kann man sie als Matrix darstellen. Wenn Du aber

f^{'} (x) h

schreibst, ist es die Anwendung der Abbildung auf einen Vektor, in Matrix-Form wäre es dann Multiplikation von einer Matrix mit einem Vektor.

MatheStudent123 aktiv_icon

20:23 Uhr, 28.05.2015

Danke für die schnelle Antwort!

Das heißt

f'' (x) (h, k)

ist dann die Funktion ein mal abgeleitet und auf

h

angewendet und noch mal abgeleitet und auf

k

angewendet? Wo besteht der Unterschied zur Ableitung mit der Hesse Matrix?

DrBoogie aktiv_icon

20:33 Uhr, 28.05.2015

Zweite Ableitung ist eine quadratische Form und Hesse Matrix ist ihre Darstellungsmatrix.

MatheStudent123 aktiv_icon

20:49 Uhr, 28.05.2015

Ok, ich glaube so langsam komme ich der Sache näher :-)
Kannst du mir ein mal knapp zeigen, wie sich der Unterschied an einem Beispiel äußert?
Wenn ich

z . B

. die Funktion

f : (- 1,1) \to ℝ : f (x) \to x^{3}

habe.
Wie genau, sieht dann die zweite Ableitung

f'' : (- 1,1) \times ℝ \times ℝ \to ℝ

aus und wie sieht die Hesse Matrix aus?!

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21:00 Uhr, 28.05.2015

Da Deine Funktion eindimensional ist, wirst Du nicht viel sehen. Die Hesse-Matrix ist

1 \times 1

, also einfach eine Zahl. An der Stelle

x

ist es natürlich

6 x

. Und aus

f ʺ (x) (h, k)

wird einfach

6 x \cdot h \cdot k

, denn auch

h

und

k

sind ja nur Zahlen.

MatheStudent123 aktiv_icon

21:15 Uhr, 28.05.2015

Ok, danke!
Und bei

f : (0, 2 Π) \to ℝ^{2} : t \to (sin (t), cos (t))

ist die Hesse Matrix eine

1 \times 2

Matrix mit

H = (- sin (t), - cos (t))

und

f'' (t) (h, k) = (- sin (t), - cos (t)) \cdot h \cdot k

?
Außerdem ist

f'' : (0, 2 Π) \times (0, 2 Π) \times (0, 2 Π) \to ℝ^{2}

DrBoogie aktiv_icon

21:31 Uhr, 28.05.2015

Nein, Hesse-Matrix ist immer quadratisch.
Sorry, ich habe vergessen zu sagen, dass meine Aussage "zweite Ableitung ist eine quadratische Form und die Hesse-Matrix ist ihre Darstellungsmatrix" nur für den Fall

ℝ^{n} \to ℝ

gültig ist.
Im Fall

ℝ^{n} \to ℝ^{m}

muss man einfach jede Komponente der Funktion getrennt betrachten, jede Komponente hat eine eigene Hesse-Matrix. In Deinem Fall gibt's zwei Komponenten, also zwei Hesse-Matrizen, jede aber

1 \times 1

.

Tut mir leid, es ist sehr schwer im Forum-Format eine Vorlesung zu halten.

Deine Formel für

f ʺ (t) (h, k)

stimmt trotzdem. Nur sind

h, k

aus

ℝ

, ohne Einschränkung, und nicht aus

[0, 2 π]

MatheStudent123 aktiv_icon

21:35 Uhr, 28.05.2015

Ok, jetzt habe ich es verstanden! Danke für deine Mühe!
Und ich habe in den paar Antworten von dir mehr verstanden und gelernt als in der Vorlesung... ;-)

LG

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