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Exponentialfunktion Textaufgabe

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, natürliche Exponentialfunktion, Textaufgabe

todesbreit aktiv_icon

19:48 Uhr, 08.06.2010

Also ich muss bis Morgen mein Portfolio zu den Themen Natürliche Exponentialfunktion und Ihre Ableitung und Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus abliefern. Ich habe 5/7 Pflichtaufgaben bereits fertiggestellt, muss jedoch noch ein schriftliches Schlusswort und Einleitungen zu beiden Themen verfassen. Dabei ist mir die Bearbeitung der Textaufgaben ein besonders großes Dorn im Auge, denn dies kostet extrem viel Zeit. Ich poste schonmal eine, da ich jetzt schon weiß, dass ich mit einigen Teilaufgaben nicht klar kommen werde. Hier ist die schöne:

Nach Eröffnung einer neuen Attraktion werden die erwarteten täglichen Besucherzahlen eines Vergnügungsparks modellhaft durch f mit $f (x) = 100 \cdot (x - 10) e^{- 0, 05 x} + 10000$ (x Anzahl der Tage nach Eröffnung der Attraktion) berechnet.

a) Beschreiben Sie den Verlauf der Besucherzahlen und intepretieren sie ihn. (Denke ist nicht so schwer)

b) Nach wie vielen Tagen rechnet man mit der höchsten Besucherzahl? Wie hoch ist sie? (1. Ableitung = 0 setzen? und den x wert in die Funktion einsetzen?)

c) Beweisen Sie, dass die tägliche Besucherzahl, nachdem sie ihr Maximum erreicht hat, dauerhaft abnimmt. (! DANGER)

d) Wann nimmt die tägliche Besucherzahl am stärksten ab, wann nimmt sie am stärksten zu? (Muss ja ein Minimum oder Maximum in der 1. Ableitung sein. Mit dem GTR ermitteln?!)

e) Die Attraktion rentiert sich, wenn die tägliche Besucherzahl über 10100 liegt. Wie lang ist die Zeitspanne, in der das der Fall ist? (Den Wertebereich der Funktion irgendwie >10100 setzen und dafür den Definitionsbereich für x berechnen? Wie geht das ? ^^)

Hoffe mir kann wer schnell helfen ^^

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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vulpi aktiv_icon

20:24 Uhr, 08.06.2010

Hallo,

' n

paar Anmerkungen zu

b)

Richtig, einfach das Maximum der Funktion bestimmen.
Ich würd' mich dabei aber auf den Term

(x - 10) e^{- 0,05 x}

beschränken,
muß ja das gleiche Max. sein.

f' = 0, f'' < 0

nicht vergessen.

c)

D . h .,

die Funktion ist ab dem Max monoton fallend

\Rightarrow

zeigen, dass

f'

ab diesem Punkt

\leq 0

ist und bleibt.

d)

Richtig, Minimum der Ableitung, aber aufpassen,
nur für ABNEHMENDE Werte, also ein NEGATIVES Minimum von

f'

suchen.
(Bei einem positiven Minimum würde die Besucherzahl ja ZUNEHMEN)

Analoge Überlegung bei dem Maximum von

f';

dieses muß ein
POSITIVES Maximum sein. (Nur da STEIGEN die Besucherzahlen)

e)

Hier soll also das Intervall gesucht werden, in dem

(x - 10) e^{- 0,05 x} \geq 1

gilt.

Möglicherweise reicht da als Antwort die Angabe der ganzen TAGE,
also Tag

n_{1}

bis Tag

n_{2}

als Zeitraum, also

n_{1}

erste ganze Zahl mit

f (n_{1}) > 10100

und

n_{2}

letzte ganze Zahl mit

f (n_{2}) > 10100

Das liese sich graphisch und/oder per TR-Herantastung schnell erledigen.
Falls die EXAKTEN Werte

f (x) = 10100

gesucht sein sollten,
hilft nur ein numerisches Näherungsverfahren (Newton),
mit dem die (anscheinend wohl) 2 vorhandenen Punkte

(x - 10) e^{- 0,05 x} = 1

bestimmt werden müßten.

Ich hoffe, ich konnte deine Arbeit ein wenig weiter treiben :-)

mfg

todesbreit aktiv_icon

21:54 Uhr, 08.06.2010

Vielen dank für die Bemühungen, die mir bisher wirklich sehr weitergeholfen haben. Allerdings habe ich bisher eine Rückfrage zu:

c) wie kann ich denn zeigen, dass f' ab dem Punkt ≤0 ist und bleibt?

Ausprobieren werde ich da wohl nicht dürfe oder?

vulpi aktiv_icon

21:55 Uhr, 08.06.2010

ehrlich gesagt, war ich bis dato zu faul,

f'

auszurechnen.
Wie sieht

f'

denn aus ?

todesbreit aktiv_icon

22:21 Uhr, 08.06.2010

ICH DREH DUCH AHHH

zum 100. mal das ganze :

$f' (x) = 100 x \cdot e^{- 0, 05 x} + (100 x - 1000) \cdot (- 0, 05) e^{- 0, 05 x} \Leftrightarrow f' (x) = e^{- 0, 05 x} (100 x + (- 0, 05) \cdot (100 x - 1000))$

Ich weiß jetzt nicht mehr, ob ich den Verlauf dieser Ableitungsfunktion fragwürdig finde. Ich kann das nur irgendwie noch nicht zuordnen, da ich irgendwie nicht weiter weiß jetzt. ^^ bin total durcheinander, sorry ^^

hoffentlich ist überhaupt noch jemand da, der mir helfen kann, denn ich habe wirklich lange gebraucht das hier so oft zusammen zu schmieden ^^

Laut GTR hat die Ableitungsfunktion, an der Stelle, wo die Normale Funktion ein Maximum hat, keine Nullstelle. Ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe =(

vulpi aktiv_icon

23:05 Uhr, 08.06.2010

Hallo nochmal !

Kleiner Tipp am Rande:
Multiplikative Konstanten bleiben beim Ableiten doch erhalten, also
warum dann solche Dinger noch rumschleppen, und auch noch per Ausklammerung
an ander Terme weitervererben ?
Machts nur kompliziert und fehlerträchtig.

Also wenn ich

z . B

. 275*(Hab mich gern) ableiten will, dann hau ich
die

275

erst mal auf den Müll, und hol sie mir am Schluß da wieder raus.

Also

0.01 \cdot f' (x) = [(x - 10) e^{- 0,05 x}]'

Jetzt sind Produkt- und Kettenegel dran:

= (1 \cdot e^{- 0,05 x}) + (x - 10) \cdot (e^{- 0,05 x}) \cdot (- 0,05)

Das jetzt zs-fassen, und dann die

100

wieder zurückholen.

mfg

todesbreit aktiv_icon

23:46 Uhr, 08.06.2010

Aber wo muss ich die 100 dann denn wieder dranhängen? Vorne oder hinten?

Ich verstehe immernoch nicht was ich beim ersten mal falsch gemacht habe.

Und ich verstehe auch nicht, warum ich auf einmal unfähig bin, die Ableitung zu bilden, das macht mich gerade richtig sauer und traurig, das konnte ich doch sonst auch immer ^^ ... :(

todesbreit aktiv_icon

00:01 Uhr, 09.06.2010

wie kann ich denn den therm zusammenfassen?

$(x + 10) \cdot (e^{- 0, 05 x}) \cdot (- 0, 05) + (e^{- 0, 05 x})$

Irgendwie kriege ich das nicht auf die Reihe, ich habs jetzt so versucht, aber das ist wohl irgendwie falsch =(

$e^{- 0, 05 x} \cdot (((x - 10) \cdot (- 0, 05) + 1)$ JUHUUU, WÄHREND ICH MEIN ERGEBNIS HIER EINTRAGEN WOLLTE IST MIR DER FEHLER AUFGEFALLEN UND ICH HABE ES GESCHAFFT, ICH WERDE MATHE STUDIEREN!!!

AUßERDEM DRÜCKE ICH JETZT DEN ***** KNOPF, DAS ICH NOCH EINE RÜCKFRAGE HATTE, SO,DASS MEIN TEXT NICHT GELÖSCHT WIRD <3<3<3

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