Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Extremweraufgabe mit Parabel, Gerade und Dreieck

Extremweraufgabe mit Parabel, Gerade und Dreieck

Schüler Gymnasium,

Tags: Aufgabe, Dreieck, Extremwert, Extremwertaufgabe, Flächeninhalt, Gerade, Parabel

MGarrix01

19:18 Uhr, 09.08.2019

Hallo, ich komme leider bei folgender Extremwertaufgabe nicht weiter:
Gegeben ist die Funktion

f (x) = - x^{2} + 6 x - 5

. die Gerade

x = a (1

kleiner gleich a kleiner gleich

5)

schneidet den Graphen von

f

im Punkt

P

und die x-Achse im Punkt Q. Die Punkte

P

und

Q

bilden mit dem Punkt

R (\frac{1}{0})

ein rechtwinkliges Dreieck. Für welches a hat dieses Dreieck maximalen Flächeninhalt? Außerdem soll der maximale Flächeninhalt berechnet werden.
Ich habe leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Für Antworten bedanke ich mich jetzt schon!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie bestimmt man die Extrempunkte eines Funktionsgraphen?

Flächeninhalt eines Kreisrings

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Kreis - Umfang und Inhalt

Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?

Schnitt Gerade - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen einer Parabel und einer Geraden?

Schnitt Parabel - Parabel

Wie bestimmt man die Schnittpunkte zwischen zwei Parabeln?

Schnitt Parabel - Koordinatenachsen

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen?

Seiten oder Winkel im allg. Dreieck mit Kosinussatz

Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Dreiecks mit dem Kosinussatz?

Seiten oder Winkel im allg. Dreieck mit Sinussatz

Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Dreiecks mit dem Sinussatz?

Seiten oder Winkel mit Sinus und Kosinus bestimmen

Wie ermittelt man die Seiten oder Winkel eines rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe von Sinus und Kosinus?

Steigung einer Geraden mit zwei gegeben Punkten

Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

Respon

20:22 Uhr, 09.08.2019

Mache eine Skizze.
Bestimme die Nullstellen deiner Funktion und du wirst feststellen, dass sie mit den Randpunkten des gegebenen Intervalls übereinstimmen.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Geraden mit dem Graphen der Funktion und der x-Achse in Abhängigkeit vom Parameter

a

.
Aus den beiden Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks läßt sich

(

in Abhängigkeit von

a)

eine Funktion für den Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks bilden.

anonymous

21:48 Uhr, 09.08.2019

Hallo,

P = (\begin{matrix} a \\ - a^{2} + 6 \cdot a - 5 \end{matrix}), Q = (\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}), R = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

F (a) = \frac{(a - 1) \cdot (- a^{2} + 6 \cdot a - 5)}{2} = \frac{- a^{3} + 6 \cdot a^{2} - 5 \cdot a + a^{2} - 6 \cdot a + 5}{2}

= - \frac{1}{2} \cdot a^{3} + \frac{7}{2} \cdot a^{2} - \frac{11}{2} \cdot a + \frac{5}{2}

als die Fläche des Dreiecks PQR

\forall a \in [1,5]

(☆).

Nun bestimme

a \in [1,5]

und

F (a),

sodass

F (a) =

Max

{F (x) : x \in [1,5]}

.

Zunächst findet man wegen (☆) schnell

F (1) = F (5) = 0

.

Wir bestimmen nun

a \in (1,5),

sodass

F' (a) = - \frac{3}{2} \cdot a^{2} + 7 \cdot a - \frac{11}{2} = 0

\Rightarrow a^{2} - \frac{14}{3} \cdot a + \frac{11}{3} = 0

\Rightarrow a_{1,2} = \frac{7}{3} \pm \sqrt{\frac{49}{9} - \frac{11}{3}} = \frac{7}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{7}{3} \pm \frac{4}{3}

\Rightarrow a = \frac{11}{3}

.

Die hinreichende Bedingung für ein striktes lokales Maximum
ist wegen (☆) nicht mehr wirklich wichtig, aber wegen

F'' (\frac{11}{3}) = - 3 \cdot \frac{11}{3} + 7 = - 4 < 0

nichtsdestotrotz erfüllt.

Also ist für

a = \frac{11}{3}

F (\frac{11}{3}) = \frac{(\frac{11}{3} - 1) \cdot (- {(\frac{11}{3})}^{2} + 6 \cdot \frac{11}{3} - 5)}{2}

= \frac{\frac{8}{3} \cdot (- \frac{121}{9} + 22 - 5)}{2} = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{121}{9} + 17) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{121}{9} + \frac{153}{9}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{32}{9} = \frac{128}{27}

maximal, wie gewünscht.

(☆) Wohldefiniertheit wegen

- a^{2} + 6 \cdot a - 5 = - (a - 1) \cdot (a - 5),

- 2^{2} + 6 \cdot 2 - 5 = 3 > 0

.

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet, Fragen ?

rundblick aktiv_icon

22:28 Uhr, 09.08.2019

.
"Ich

. ., .

. habe mich nicht verrechnet"
na ja , Angeber?: Punkte sind keine Vektoren - also: die schreibt Mann nicht als Vektor auf..

"Fragen ?"

. .

\to

ja: was soll der arme Fragesteller denn jetzt noch selbst machen ? siehe :

... ...

. "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

... ...

.
.

anonymous

22:43 Uhr, 09.08.2019

"Punkte" haben Marienkäfer auf'm Rücken !

Wir spielen hier auf dem Vektorraum R^2
und dessen Elemente (die "Punkte") sind Vektoren.

Und der Fragesteller, Entschuldigung an ihn, dass
ich hier in der dritten Person über ihn spreche,
kann doch einfach mal gucken, was da so bei
meinem Machwerk abgeht und sich nehmen, was er
gebrauchen kann, oder gegebenenfalls fragen...

Mathe45

01:09 Uhr, 10.08.2019

Also, wir nehmen zur Kenntnis, dass DU die Aufgabe lösen kannst.
Und ?
Befriedigt ?

anonymous

01:57 Uhr, 10.08.2019

Wer ist wir, Sie, Mathe43 und Mathe44 ?
Oder die spanische Inquisition ?
Und seit wann duzen wir uns ?

anonymous

03:21 Uhr, 10.08.2019

Was mir an der Aufgabe gefällt,
ist die schöne Lösung - man kann
sie komplett zu Fuß rechnen.
Kann man das gezielt so designen ?

Für natürliche Zahlen

n_{1}, n_{2}

und für eine rationale Zahl

\frac{p}{q} \in [n_{1}, n_{2}]

sei

- (x - n_{1}) \cdot (x - n_{1}) \cdot (x - n_{2})

maximal.

Ausmultiplizieren:

(x^{2} - 2 \cdot n_{1} \cdot x + n_{1}^{2}) \cdot (n_{2} - x)

= - x^{3} + (2 \cdot n_{1} + n_{2}) \cdot x^{2} - (n_{1}^{2} + 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2}) \cdot x + n_{1}^{2} \cdot n_{2}

.

Ableitung gleich 0 für

x = \frac{p}{q} :

- 3 \cdot {(\frac{p}{q})}^{2} + 2 \cdot (2 \cdot n_{1} + n_{2}) \cdot \frac{p}{q} - (n_{1}^{2} + 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2}) = 0

\Rightarrow

{(\frac{p}{q})}^{2} - \frac{2}{3} \cdot (2 \cdot n_{1} + n_{2}) \cdot \frac{p}{q} + \frac{1}{3} \cdot (n_{1}^{2} + 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2}) = 0

\Rightarrow

\frac{p}{q} = \frac{2 \cdot n_{1} + n_{2}}{3} \pm \sqrt{\frac{{(2 \cdot n_{1} + n_{2})}^{2}}{9} - \frac{n_{1}^{2} + 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2}}{3}}

= \frac{2 \cdot n_{1} + n_{2}}{3} \pm \sqrt{\frac{(4 \cdot n_{1}^{2} + 4 \cdot n_{1} \cdot n_{2} + n_{2}^{2}) - (3 \cdot n_{1}^{2} + 6 \cdot n_{1} \cdot n_{2})}{9}}

= \frac{(2 \cdot n_{1} + n_{2}) \pm \sqrt{n_{1}^{2} - 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2} + n_{2}^{2}}}{3}

= \frac{(2 \cdot n_{1} + n_{2}) \pm \sqrt{{(n_{1} - n_{2})}^{2}}}{3}

= \frac{(2 \cdot n_{1} + n_{2}) \pm (n_{1} - n_{2})}{3}

= \frac{n_{1} + 2 \cdot n_{2}}{3}

(da

n_{1}

ausgeschlossen).

Wir haben also eine einfache Formel für derlei Aufgaben
und wissen, dass die Lösungen (Stelle und Fläche)
immer schön rational sind.

Beispiele (nur Stelle):

n_{1} = 1, n_{2} = 5 \Rightarrow a = \frac{n_{1} + 2 \cdot n_{2}}{3} = \frac{11}{3}

(schon bekannt),

n_{1} = 2, n_{2} = 8 \Rightarrow a = \frac{n_{1} + 2 \cdot n_{2}}{3} = 6

MGarrix01

16:38 Uhr, 10.08.2019

Moin, erstmal danke für deine umfangreiche Antwort. Leider kann ich nicht do richtig nachvollziehen wie du am Anfang auf

f (a)

kommst?
Lg

anonymous

17:19 Uhr, 10.08.2019

Hallo,

die Funktion habe ich selbst

F

(wie "Fläche") genannt und die ist nicht

f,

denn die steht in der Aufgabenstellung und ist was anderes (die Parabel).

Nun zum Making Of

F :

Die Strecken

Q - R

und

P - Q

sind die Katheten des Dreiecks,

(☆)

dessen Fläche ist somit

\frac{| Q - R | \cdot | P - Q |}{2}

| P - Q | = | (\begin{matrix} a \\ - a^{2} + 6 \cdot a - 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} a - a \\ - a^{2} + 6 \cdot a - 5 - 0 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 0 \\ - a^{2} + 6 \cdot a - 5 \end{matrix}) |

= \sqrt{0^{2} + {(- a^{2} + 6 \cdot a - 5)}^{2}} = \sqrt{{(- a^{2} + 6 \cdot a - 5)}^{2}} = - a^{2} + 6 \cdot a - 5,

was man auch ganz kühn direkt behaupten könnte und analog folgt

| Q - R | = a - 1

.

Wo ist deine Skizze ?

(☆) Formal korrekt sind das die Ortsvektoren,

die mit den Katheten in Richtung und Länge übereinstimmen.

Die Strecken bezeichnet man korrekt mit

[

QR], [PQ].

Atlantik aktiv_icon

13:56 Uhr, 11.08.2019

Alternative über verschobene Parabel:

p_{1} (x) = - x^{2} + 6 x - 5

mit

R_{1} (1 | 0) \to p_{2} (x) = - x^{2} + 4 x

mit

R_{2} (0 | 0)

g_{m} (x) = m \cdot x

- x^{2} + 4 x = m \cdot x

x^{2} - 4 x + m \cdot x = 0

x (x - 4 + m) = 0

x_{1} = 0

x_{2} = 4 - m

A_{m} = \int_{0}^{4 - m} m \cdot x \cdot d x = {[\frac{m}{2} \cdot x^{2}]}_{0}^{4 - m} = \frac{m}{2} \cdot {(4 - m)}^{2} = \frac{m}{2} \cdot (16 - 8 m + m^{2}) = 8 m - 4 m^{2} + \frac{m^{3}}{2}

A_{m}

= 8 - 8 m + \frac{3}{2} m^{2}

8 - 8 m + \frac{3}{2} m^{2} = 0

m_{1} = \frac{4}{3}

m_{2} = 4

A_{m}

´´

= - 8 + 3 m

A_{m}

´ ´

(\frac{4}{3}) = - 8 + 3 \cdot \frac{4}{3} = - 4 < 0 \to M a x i m u m

A_{m}

´ ´

(4) = - 8 + 3 \cdot 4 = 4 > 0 \to M i n i m u m

u

s . w

.

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

anonymous

15:45 Uhr, 11.08.2019

Boah, mit Integrieren, geht natürlich auch !

Ich möchte mein Universalkit von zuvor noch flugfähig machen,
so kann man die Aufgabe im Handumdrehen tausendfach neu präsentieren...

Für

f (x) = - (x - n_{1}) \cdot (x - n_{2})

mit

n_{1} \leq n_{2}

ist die Fläche des Dreiecks ABC mit

A = (\begin{matrix} n_{1} \\ 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} a \\ - (a - n_{1}) \cdot (a - n_{2}) \end{matrix})

und

a \in [n_{1}, n_{2}]

maximal für

a = \frac{n_{1} + 2 \cdot n_{2}}{3}

und beträgt dann

F_{max} = \frac{2}{27} \cdot {(n_{2} - n_{1})}^{3}

(☆).

Beispiele:

n_{1} = 1, n_{2} = 5 \Rightarrow a = \frac{11}{3}, F_{max} = \frac{128}{27}

Ur-Aufgabe,

n_{1} = 0, n_{2} = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}, F_{max} = \frac{128}{27}

Beispiel von Atlantik,

n_{1} = 2, n_{2} = 8 \Rightarrow a = 6, F_{max} = 16,

n_{1} = 3, n_{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = 4, F_{max} = \frac{1}{4}

.

(☆) Making Of

F_{max} :

F_{max} = - \frac{{(\frac{n_{1} + 2 \cdot n_{2}}{3} - n_{1})}^{2} \cdot (\frac{n_{1} + 2 \cdot n_{2}}{3} - n_{2})}{2}

= - \frac{{(2 \cdot \frac{n_{2} - n_{1}}{3})}^{2} \cdot \frac{n_{1} - n_{2}}{3}}{2}

= - \frac{4 \cdot (n_{1}^{2} - 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2} + n_{2}^{2})}{9} \cdot \frac{n_{1} - n_{2}}{6}

= - \frac{2}{27} \cdot (n_{1}^{3} - 2 \cdot n_{1}^{2} \cdot n_{2} + n_{1} \cdot n_{2}^{2} - n_{1}^{2} \cdot n_{2} + 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2}^{2} - n_{2}^{3})

= \frac{2}{27} \cdot (- n_{1}^{3} + 3 \cdot n_{1}^{2} \cdot n_{2} - 3 \cdot n_{1} \cdot n_{2}^{2} + n_{2}^{3})

= \frac{2}{27} \cdot {(n_{2} - n_{1})}^{3}

anonymous

09:30 Uhr, 12.08.2019

By Pablo Picasso...

MGarrix01

18:45 Uhr, 12.08.2019

Dann bedanke ich mich bei allen, die sich die Zeit genommen haben und diese Aufgabe bearbeitet haben.
Lg

1478038

1477871

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?