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Facharbeit Mathe Differentialrechnung/Wirtschaft
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Ableitung, Differentialrechnung, Erlöse, Gewinne, Wirtschaft
 
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Servus und Hallo erstmal, ich bin neu hier im Forum und hoffe das meine Frage gleich im richtigen Bereich gestellt wurde. Und zwar hab ich einen teil der Mathematik Facharbeit fertig, sie beschäftigt sich mit der Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft. Es wäre mir sehr lieb wenn jemand mal die Zeit finden würde um sein Fachliches Auge kurz drüberschweifen zu lassen. Eine Frage hät ich dazu noch und zwar, was ich dem Betrieb raten kann, soll er a Stück oder b) Mengenorientiert produzieren, die zahlen für die Auswertung sind in der Tavbelle zu finden Vielen lieben dank im voraus und nun zum corpus delicti 3.) Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft 3.1 Einleitung Das Thema der Differentialrechnung ist die Suche nach lokalen Veränderungen von Funktionen und beschäftigt ebenso den Fachbereich der Wirtschaft. Hierbei dient die Differentialrechnung der Gewinn- und Kostenoptimierung. Somit beschäftigt sich die Differentialrechnung in der Wirtschaft mit der Abhängigkeit von Kosten, Preisen, Umsätzen und Gewinnen. Man ermittelt beispielsweise die optimalen Stückmengen um den Gewinn zu maximieren, oder ermittelt die Ausbringungsmenge x, bei der die Kosten minimal sind. Zuerst werden die Vokabeln, welche von Bedeutung sind, näher erklärt. So steht E(x) für den Erlös, welcher sich aus der Ausbringungsmenge x und dem Preis p ergibt, damit erhält man E(x)= p*x. Die Kosten K(x) setzen sich zusammen aus den variablen Kosten Kvar, die von der Ausbringungsmenge Abhängig sind und den fix Kosten, Kfix(x), welche in keinerlei Proportion zu der Ausbringungsmenge x stehen. Der Gewinn definiert sich in der Betriebswirtschaft als Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Somit erhält man die Gewinnfunktion G(x)= E(x)-(Kvar(x)+Kfix). 3.2 Vorgehensweise Um den Gewinn zu maximieren, wird die erste Ableitung G´(x) und die zweite Ableitung G´´(x) der Gewinnfunktion benötigt. Mit der ersten Ableitung erhält man den Anstieg der Tangente an dem Extrempunkt. Mit Hilfe der zweiten Ableitung ermittelt man, ob es sich bei dem Extrempunkt um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Da wir ein Maximum suchen, wird sich dieser Extrempunkt als Hochpunkt darstellen. Somit dient die zweite Ableitung lediglich zur Probe. Nehmen wir an, ein Unternehmen hat folgende Gleichungen durch empirisches Arbeiten ermittelt: der Preis P(x) sei -x+211 und die Kosten für die Produktion betragen Kfix= 2944 und Kvar(x)= 11x. Aus diesen Angaben kann man die Gewinnfunktion G(x) ermitteln. In diesem Fall lautet sie G(x)=(-x211)*x-(11x+2944), zusammengefasst ergibt sich daraus G(x)=-x²+200x-2944. 3.3 Ermitteln der Gewinnzone Als erstes ermittelt man die Gewinnzone. Dies ist der Bereich, in dem das Unternehmen Gewinne einfährt, sprich der Bereich zwischen Gewinnschwelle und Gewinngrenze. Dies erhält man indem man die Gewinnfunktion in die Normalform x²+px+q umformt und dann mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen x1,2= löst. Hierfür muss erst einmal G(x)= 0 gesetzt werden, dann multipliziert man G(x) mit -1 um die Normalform zu erhalten, welche hier x²-200x-2944 ist. Nun erhält man unter Verwendung der Lösungsformel für x1=16 und x2= 184, dies ist nun die Gewinnzone des Unternehmens. 3.4 Das Gewinnmaximum Um das Gewinnmaximum zu ermitteln, benötigt man die ersten beiden Ableitungen von G(x). So erhält man G´(x)=-2x+200 und G´´(x)=-2. Anhand der zweiten Ableitung, welche -2 ergibt, erkennt man, dass es sich bei diesem Extrempunkt um einen Hochpunkt handelt. Um die Ausbringungsmenge zu ermitteln, bei der der Gewinn maximiert wird, muss nun die erste Ableitung 0 gesetzt werden und die Gleichung nach X aufgelöst werden. Damit erhält man den Anstieg der Tangente am Hochpunkt. G´(x)=0 0=-2x+200 2x=200 x=100 ME1 Anhand des Ergebnisses ersieht man, dass das Unternehmen einen Maximalgewinn bei einer Stückzahl von 100ME einfährt. Um den Gewinn zu ermitteln, welchen das Unternehmen bei einer Produktionsmenge von 100 Stück erzielt, setzt man das Ergebnis der ersten Ableitungen in die Ausgangsgleichung, unsere Gewinnfunktion ein. Man erhält somit die Gleichung G(100)=-100²-200*100-2944 G(100)=7056 GE². 3.5 Das Erlösmaximum Das Erlösmaximum erhält man durch das gleiche Schemata wie bei dem Gewinnmaximum, allerdings wird hierbei nicht die Gewinnfunktion G(x), sondern die Erlösfunktion E(x)=-x²+211x abgeleitet. Mit Hilfe der ersten Ableitung erhält man E´(x)=-2x+211, mit Hilfe der zweiten Ableitung wird wieder ersichtlich, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Die zweite Ableitung lautet E´´(x)=-2. Hier lässt sich wieder ein negativer Wert erkennen, durch welchen man auf einen Hochpunkt schließen kann. E´(x)=-2x+211, diese Gleichung wiederum Null setzen und nach x auflösen. 0=-2x+211, 2x=211 und somit ist x=105,5. Um den Gewinn beim Erlösmaximum zu erhalten setzt man wiederum das Ergebnis der ersten Ableitung in die Gewinnfunktion und erhält somit G(105,5)=-105,5²+200*105,5-2944 daraus ergibt sich G(105,5)=7025,75. 3.6 Die Stückbetrachtung Für die Stückbetrachtung teilt man die Gewinnfunktion durch die Ausbringungsmenge x und erhält dann folgende Gleichung g(x)= . Mit eingesetzten Werten ergibt sich g(x)= . Nach dem Kürzen erhält man g(x)=-x+200-2944x-1. Nun geht verfährt man wieder nach dem schon oben angewandten Procedere, Ableitungen bilden, erste Ableitung Null setzen und das erhaltene Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen g´(x)=-1+2944x-2 g´´(x)=-2944x-3 Nullsetzen der ersten Ableitung: g´(x)=0, Multipliziert man diesen Term nun mit x² erhält man 0=–x²+2944. Stellt man nach x um, erhält man x²=2944 und x=± 54,26 ME. Setzt man dieses Ergebnis nun einmal in G(x) ein erhält man nun in die beiden Ausgangsgleichungen G(x) und g(x) ein erhält man für G(54,26ME)=4963,85GE und für g(54,26ME)=91,48 GE. xe in ME Probe( zweite Ableitung G(xe) in GEg(xe) in GE G(x)100 -2 7055 70,55 g(x)54,26-0,018 4963,85 91,48 Aus den Ergebnissen, welche in der Tabelle veranschaulicht wurden, lässt sich nun erkennen, dass es für das Unternehmen besser von Vorteil ist ???????? Mengen oder Stück orientiert zu produzieren???. 3.7 Zusammenfassung Letztendlich kann man sagen, dass die Differentialrechnung in der Wirtschaft von größer Bedeutung ist. Durch die Differentialrechnung kann man die Produktionsmenge rechnerisch ermitteln, dass einerseits der Gewinn maximiert werden kann und andererseits wieder die Kosten minimiert werden können. Hierdurch kann ein Unternehmen, bevor es in die Produktion geht, ermitteln welche Möglichkeiten es hat und wie es produzieren kann. Es ist somit von essentieller Bedeutung für die Wirtschaft, von den Errungenschaften der Mathematik Gebrauch zu machen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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*push* Wär lieb, wenn nicht nur jeder gucken sondern acuhw er was schrieben könnte. Vielen Dank |
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Hi Ich vermute mal, dass die meisten sich von dem riesen Text haben abschrecken lassen. Ich hab den Text auch mehr überflogen. Da ich kein wirtschaftler bin, ist das sowieso nicht so mein Thema. "er Preis sei " So wie ich das verstehe ist das doch der Verkaufspreis. Wie kann der denn von der STückzahl abhängen? Wenn ich Stück produziere geb ich den Käufern ja noch Geld. "Damit erhält man den Anstieg der Tangente am Hochpunkt." Der Anstieg am Hochpunkt ist 0. Du ermittelst die Stelle/Stückzahl an der dieses Maximum erreicht wird. "Nach dem Kürzen erhält man . " "Mengen oder Stück orientiert zu produzieren" Lässt sich damit nicht sagen. Das hängt von ganz anderen Faktoren ab. Das was du machst ist eine reine wirtschaftliche Betrachtung. Also wie man die Zahlen am besten schönen kann. Je nach Zielgruppe oder was man aussagen will wird eben das eine oder das andere genommen. Die Tabelle ist nicht wirklich verständlich. Hier solltest du vlt noch irgendwas reinbringen, dass die Ermittlung der Funktionen sehr aufwendig sein kann und auch das letztendliche Ergebnis von mehr Faktoren abhängt . wenn die optimale Stückzahl wäre ich mit meinen Machinen aber nur produzieren kann...). Letztendlich ist das zwar eine tolle Sache, abre oft realitätsfern. Grüße |
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Servus, danke für die Antwort, ja der Text ist derb ich weiß :-D) 3.2 Die Gleichung ist gemacht für größere Stückmengen :-D), ne hab die so als Beispiel aus nem BWL Buch gefischt ;-) 3.6 hier ist ein Fehler, es heit g(x)=-x+200-2944*x(hoch -1) ist hier im System von mir ein Tippfehler ;-) UNd bzgl Mengen oder Stückorientierter Produktion, kommt es darauf an, ob A) jede beliebig große Absatzmenge veräußerbar ist oder eben b) nicht jede MEnge veräußert werden kann sondern nur kleine, und somit ist die Stückorienterirungn praktisch, da man dort schneller gewinne einfährt ^^ Besten Dank und gute nacht ;-) |
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Hallo . zuerst muss ich sagen dass dein facharbeit sehr gut geworden ist. Meine erste frage wäre könnte ich den anfangsteil deiner facharbeit kriegen?? Und zweite frage aus welchem buch du das beispiel hast.. würde mich freuen wenn schnell ein antwort folgt. danke im vorraus |
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Danke erstmal, bezüglich der Aufgabe, kann ich dir nichts genaues sagen, dass weiß ich wirklich nicht ehr, aber ich glaub die war entweder von www.opberprima.com oder puhh ka, schau da mal. Was meinst du mit Anfangsteil, die Einteilung oder wie? Lg Anox323 |
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Ja also ich würde mal gerne dein ganzes FAchharbeit lesen. Ich hab letztens auch über das selbe thema eine facharbeit geschrieben. Lg |
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