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Funktionsgleichung aus einer Nullstelle,Punkt ...

Schüler

Tags: Funktionsgleichung, Gerade, Nullstell, Parabel

Reezu300

02:10 Uhr, 12.10.2023

Wie bestimmt man eine Funktionsgleichung

f (x),

die achsensymmetrisch zur senkrechten Gerade

x = 2

ist, eine Nullstelle

x = 5

hat und durch den Punkt

(0 | - 5)

verläuft??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Hyperbeln
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

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pivot aktiv_icon

03:20 Uhr, 12.10.2023

Hallo,

verwende die allgemeine Scheitelpunktform der Parabel als Ausgangsfunktion:

f (x) = a \cdot (x - b)^{2} + c

Die Parameter

a, b

und

c

sind noch zu bestimmen. Der Scheitelpunkt ist (b/c). Somit ist die Parabel f(x) symmetrisch zur Senkrechten

x = b

. Aufgrund der Information "achsensymmetrisch zur senkrechten Gerade x=2" ist die Funktion jetzt

f (x) = a \cdot (x - 2)^{2} + c

Nun die nächste Information verwenden: ... eine Nullstelle bei

x = 5

. Das ergibt die Gleichung

f (5) = 0

und somit

a \cdot (5 - 2)^{2} + c = 0

a \cdot 3^{2} + c = 0

9 a = - c (1)

Nächste Info: ... durch den Punkt

(0 ∣ - 5)

verläuft. Das ergibt die Gleichung

f (0) = - 5

und somit

a \cdot (0 - 2)^{2} + c = - 5

a \cdot 4 + c = - 5

4 a + c = - 5

4 a + 5 = - c (2)

- c = - c

ist, kann man mit Hilfe der Gleichungen

(1)

und

(2)

und des Gleichsetzungsverfahrens den Wert des Parameters

a

bestimmen.

Gruß
pivot

KL700 aktiv_icon

06:30 Uhr, 12.10.2023

f (x) =

ax^2+bx+c

Wegen der Symmetrie gilt:

x = 5

und

x = - 1

sind Nullstellen, gleicher Abstand von

x = 2

f (5) = 0

f (- 1) = 0

f (0) = - 5

25 a + 5 b + c = 0

a - b + c = 0

c = - 5

. .

Reezu300

09:25 Uhr, 12.10.2023

Vielen Dank für deine Antwort Pivot, aber aus welchem Grund darf man

b

beim 3.Schritt einfach so aus der Gleichung rauslassen?

Reezu300

09:27 Uhr, 12.10.2023

Danke für deine Antwort KL700, aber wie soll man dann weiter rechnen

KL700 aktiv_icon

09:31 Uhr, 12.10.2023

Du hast zwei Gleichungen für a und

b

c

ist sofort erkennbar.
Damit bist du schnell am Ziel.
Das müsstest du hinbekommen.

Mathe45

09:45 Uhr, 12.10.2023

Mach dir doch die Sache leichter.
siehe auch
www.onlinemathe.de/forum/Funktionsgleichung-anhand-von-2-Nullstellen

Du hast "de facto" zwei Nullstellen.

N_{1} (5 | 0)

und

N_{2} (- 1 | 0)

\Rightarrow

f (x) = a \cdot (x - 5) \cdot (x + 1)

Die Koordinaten von

P (0 | - 5)

müssen die Funktionsgleichung erfüllen.

- 5 = a \cdot (0 - 5) \cdot (0 + 1) \Rightarrow a = 1

Also

f (x) \cdot (x - 5) \cdot (x + 1)

f (x) = x^{2} - 4 \cdot x - 5

pivot aktiv_icon

10:21 Uhr, 12.10.2023

@Reezu300

》》Vielen Dank für deine Antwort Pivot, aber aus welchem Grund darf man b beim 3.Schritt einfach so aus der Gleichung rauslassen?《《

Gerne. Den Wert von

b

hatte ich ja schon am Anfang mit

b = 2

ermittelt. Deswegen habe ich

b

durch 2 ersetzt diesen Wert im Weiteren beibehalten.

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