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Funktionsschar mit ln

Schüler

Tags: Ableitung, Funktionsschar, ln-Funktion, Monotonieverhalten

Finchen503 aktiv_icon

10:43 Uhr, 21.02.2013

Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und komme nicht weiter...

Gegeben ist für a element

ℝ

eine Schar von Funktionen fa mit der Gleichung
fa(x)= ln(x²)+

\frac{a}{x}, x

element

ℝ^{+}

g

sei die Funktion der Schar für

a = 1

und

h

sei die Funktion für

a = - 2

.
Also gilt: g(x)=ln(x²)+

\frac{1}{x},

h(x)=ln(x²)-

\frac{2}{x},

mit

x

element

ℝ^{+}

a) (1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a das Monotonieverhalten der Funktionen fa.

(2)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktionen fa.

zu

a)

Muss ich hier die erste Ableitung von fa bilden und dann gucken, wo sie

< 0

und wo sie

> 0

ist? Bei fa'(x)

> 0

ist sie streng monoton steigend und bei fa'(x)<0 streng monoton fallend, oder?

Also brauche ich ja zunächst die erste Ableitung:
Produktregel fa'(x)=u(x)*v'(x)+u'(x)*v(x)

u (x) =

ln(x²)

u' (x) = \frac{2}{x}

v (x) = \frac{a}{x}

v' (x) = -

(a/x²)

fa'(x)= ln(x²)*(-a/x²)+

\frac{2}{x} \cdot \frac{a}{x}

= ln(x²)*(-a/x²)+ 2a/x²

Ist das soweit richtig?

Ich würde jetzt fa'(x)=0 setzen, aber da komme ich nicht weiter. Das a stört mich...

zu b)Hier hab ich wieder das Problem mit der ersten Abl.

Kann mir jemand bitte helfen?

Danke schonmal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Edddi aktiv_icon

11:24 Uhr, 21.02.2013

. .

. für die Ableitung brauchst du keine Produktregel.

(ln (x^{2}) + \frac{a}{x})' = (2 \cdot ln (x) + \frac{a}{x})' = 2 \cdot (ln (x))' + (\frac{a}{x})' = \frac{2}{x} - \frac{a}{x^{2}}

Nullsetzen ergibt:

x = \frac{a}{2}

Somit hast du genau EINE Extremstelle bei

\frac{a}{2}

für negative a sollte nun die Monotonie für

ℝ^{+}

klar sein.

Da

x \in ℝ^{+}

und

a < 0

sind sowohl

\frac{2}{x}

als auch

- \frac{a}{x^{2}}

GRÖßER Null

\to

streng steigende Mon.

ähnlich gehst du nun für pos. a vor. Allerding wirst du hier die beiden Bereiche vor und nach der Extremstelle auswerten.

;-)

Finchen503 aktiv_icon

11:38 Uhr, 21.02.2013

Vielen Dank für deine Antwort.

Kannst du mir vielleicht nochmal deinen Rechenweg beim Nullsetzen aufschreiben?

Ansonsten hab ich alles verstanden. Dankeschön!

Edddi aktiv_icon

11:39 Uhr, 21.02.2013

\frac{2}{x} - \frac{a}{x^{2}} = 0 | \cdot x^{2}

2 \cdot x - a = 0 | + a

2 \cdot x = a | : 2

x = \frac{a}{2}

;-)

Kathi123 aktiv_icon

00:06 Uhr, 22.02.2013

Hallo!
Ich habe gerade die gleiche Aufgabe hier und verstehe das mit dem Monotonieverhalten nicht.
Wenn man das Monotonieverhalten untersuchen will, muss man ja die Extremstellen (hier ist es ja nur eine) bestimmen und dann gucken wie sich

f' (x)

vor und nach dieser Extremstelle verhält. Aber die mache ich das, wenn die Extremstelle mit dem Parameter angegeben wird? Das versteh ich nicht.
Wenn

a < 0,

dann liegt die Extremstelle doch auch bei

x < 0,

oder nicht? Und das ist doch außerhalb des Definitionsbereich, oder?
Könnt ihr mir das vielleicht Schritt für Schritt erklären?!

Danke schonmal

Edddi aktiv_icon

08:08 Uhr, 22.02.2013

. .

. wenn nun das lok. Extrema in

ℝ^{-}

liegt, so könne in

ℝ^{+}

ja keine lok. Extrema sein. Folglich monotones Verhalten.

Da man für

x \in ℝ^{+}

und negativem a leicht zeigen kann, dass der Anstieg an jeder Stelle positiv und ungleich Null ist muss strenge steigende Monotonie herschen.

Anstieg ist ja

f' (x) = \frac{2}{x} - \frac{a}{x^{2}}

ℝ^{+}

ist

\frac{2}{x} > 0

und mit

a < 0

ergibt sich für

- \frac{a}{x^{2}} > 0

Somit

\frac{2}{x} - \frac{a}{x^{2}} > 0

Für positves a liegt lokales Extrema ja in

ℝ^{+}

Extremstelle liegt bei

x = \frac{a}{2}

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:

f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \cdot a}{x^{3}} \Rightarrow f'' (\frac{a}{2}) = - \frac{2}{{(\frac{a}{2})}^{2}} + \frac{2 \cdot a}{{(\frac{a}{2})}^{3}} = \frac{8}{a^{2}}

So ist

f'' (x_{E})

also größer

0,

somit lokales Minimum.

So sollte nun links der Extremstelle

\frac{a}{2}

fallende Monotonie und rechtsseitige steigende Monotonie herschen. Ob sie streng ist kann man wieder über die Ableitungen bestimmen.

Für

x \in ℝ^{+}

und

< \frac{a}{2}

sollte

f' (x) < 0

sein.

Für

x \in ℝ^{+}

und

> \frac{a}{2}

sollte

f' (x) > 0

sein.

Also schauen wir:

f' (x) < 0

\frac{2}{x} - \frac{a}{x^{2}} < 0

2 \cdot x - a < 0

2 \cdot x < a

x < \frac{a}{2}

analog:

f' (x) > 0

\frac{2}{x} - \frac{a}{x^{2}} > 0

x > \frac{a}{2}

Zusammenfassend können wir sagen (Für

ℝ^{+}) :

streng monoton fallend in

(0; \frac{a}{2}]

streng monoton steigend in

[\frac{a}{2}; \infty)

;-)

Kathi123 aktiv_icon

13:54 Uhr, 22.02.2013

wunderbar, vielen Dank. Das leuchtet mir ein :-)

Kathi123 aktiv_icon

14:02 Uhr, 22.02.2013

Noch eine Frage:

Ich soll begründen, dass jede Funktion fa für

a > 0

den globalen TP

(\frac{a}{2} | ln (\frac{a^{2}}{2}) + 2)

besitzt.

Kann ich da so begründen, dass

x = \frac{a}{2}

ja nur für

a > 0

definiert ist, da

x

ja ansonsten in

ℝ^{-}

liegen würde? Dass es sich generell um einen lok. TP handelt habe ich ja schon gezeigt...
Oder versteh ich das völlig falsch?!

Edddi aktiv_icon

14:22 Uhr, 22.02.2013

. .

. du hast gezeigt, dass lok. Extremstelle bei

x = \frac{a}{2}

Einsetzen in die 2. Ableitung zeigt ja, dass

f'' (\frac{a}{2}) > 0

für

a > 0

Somit ist gezeigt, dass es sich für

a > 0

um einen lok. TP handelt.

Du könntest sogar zeigen, dass für

x > 0

a > 0

gilt:

f (x) \geq f (\frac{a}{2})

Somit handelt es sich sogar um einen globalen TP für diesen Bereich.

;-)

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