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Grenzwerte berechnen mit Variable im Exponenten

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Exponentialfunktion, Grenzwert, lim

herzbube aktiv_icon

11:29 Uhr, 15.01.2025

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

lim_{n \to \infty} \frac{3^{n} n ³ + 5^{n} (n + 1)}{5^{n} n + n ⁵}

Habe erstmal versucht ein wenig umzuformen aber komme nicht so richtig weiter

lim_{n \to \infty} \frac{3^{n} n ³ + 5^{n} n + 5^{n}}{5^{n} n + n ⁵}

lim_{n \to \infty} \frac{e x p (l n (3) \cdot n) n ³ + e x p (l n (5) \cdot n) n + e x p (l n (5) \cdot n)}{e x p (l n (5) \cdot n) + n ⁵}

Mit den mir gegebenen Grenzwertsätzen komme ich nicht weiter, wäre L'Hospitale hier sinnvoll?

Vielen Dank schonmal an etwaige Wissende!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
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Respon

11:59 Uhr, 15.01.2025

Klammere im Zähler und im Nenner den Term

5^{n} \cdot n

aus.

KL700 aktiv_icon

12:02 Uhr, 15.01.2025

Kürze den Bruch mit

n \cdot 5^{n}

herzbube aktiv_icon

12:25 Uhr, 15.01.2025

So komme ich auf :

lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + 3^{n} \frac{1}{5^{n}} n ²}{1 + \frac{1}{5^{n}} n ⁴}

Dabei ist

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^{n}} = 0

da kleiner als

\frac{1}{n}

lim_{n \to \infty} 3^{n} = \infty

lim_{n \to \infty} n ² = \infty

lim_{n \to \infty} n ⁴ = \infty

Ich muss also zeigen, dass

\frac{1}{5^{n}}

hier der Faktor mit der größten Wirkung ist?
Edit: Ich meine damit, dass als Grenzwert am Ende 1 rauskommt, da

\frac{1}{5^{n}}

den Rest gegen 0 gehen lässt.

Respon

12:36 Uhr, 15.01.2025

"Ich muss also zeigen, dass

\frac{1}{5^{n}}

hier der Faktor mit der größten Wirkung ist?"
Ja, so ungefähr !

calc007

12:43 Uhr, 15.01.2025

Ich helfe mal noch eine kleines Schrittchen weiter:

. .

= lim \frac{1 + \frac{1}{n} + {(\frac{3}{5})}^{n} \cdot n^{2}}{1 + \frac{n^{4}}{5^{n}}} = \frac{1 + 0 + lim ({(\frac{3}{5})}^{n} \cdot n^{2})}{1 + lim (\frac{n^{4}}{5^{n}})}

Brauchst du noch weitere Hilfe?
Verbleiben noch Unsicherheiten?

HAL9000

13:23 Uhr, 15.01.2025

Auf

lim_{n \to \infty} \frac{n^{m}}{a^{n}} = 0

für alle reellen

m, a

mit

a > 1

(in kurzen griffige Worten "Exponentialfunktionen wachsen schneller als Potenzfunktionen") stößt man immer wieder bei Grenzwertbetrachtungen.

Auch wenn man das Rad nicht immer wieder neu erfinden muss, sollte man auf Verlangen doch in der Lage sein, diese Grenzwertaussage zu beweisen. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten - mir selbst gefällt am besten eine sehr elementare über den Binomischen Satz (kommt ohne L'Hospital o.ä. Schnickschnack aus).

herzbube aktiv_icon

15:34 Uhr, 15.01.2025

Das umformen hilft mir schon weiter.

lim_{n \to \infty} (\frac{3}{5})^{n} = 0

0 < \frac{3}{5} < 1

Ich brauche Hilfe beim nächsten Schritt, da

0 \cdot \infty

ja nicht erlaubt ist.

@HAL9000:

lim_{n \to \infty} \frac{n^{m}}{a^{n}} = 0

oder eine ähnliche Form finde ich leider nicht in meinem Skript. Ein Beweis dazu fällt mir auch schwer. Würdest du mich erhellen?

HAL9000

16:16 Uhr, 15.01.2025

Dazu betrachten wir eine natürliche Zahl

k

mit

k > m

, nun folgt durch Anwendung des Binomischen Satzes

a^{n + k} = {(1 + (a - 1))}^{n + k} = \sum_{j = 0}^{n + k} (\begin{array}{c} n + k \\ j \end{array}) \cdot {(a - 1)}^{j}

.

Wegen

a - 1 > 0

sind alle Summanden in der Summe positiv - wenn wir also alle Summanden bis auf den einen für

j = k

weglassen, verkleinert sich die Summe:

a^{n + k} \geq (\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}) \cdot {(a - 1)}^{k} > \frac{n^{k}}{k!} \cdot {(a - 1)}^{k}

,

letzteres folgt aus Abschätzung

n + j > n

für alle

j = 1, \dots, k

im Zähler des Binomialkoeffizienten

(\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}) = \frac{(n + k) (n + k - 1) \cdot \dots \cdot (n + 1)}{k!}

. Daraus folgt unmittelbar

0 < \frac{n^{m}}{a^{n}} = \frac{n^{m} a^{k}}{a^{n + k}} < \frac{n^{m} a^{k}}{\frac{n^{k}}{k!} \cdot {(a - 1)}^{k}} = C \cdot n^{m - k}

mit

C := \frac{a^{k} k!}{{(a - 1)}^{k}}

.

Wegen

m - k < 0

und demnach

lim_{n \to \infty} n^{m - k} = 0

bekommt man über dieses Sandwich dann auch

lim_{n \to \infty} \frac{n^{m}}{a^{n}} = 0

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