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Möchte Gleichung 3^n = 36000000 nach n auflösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ableitung

Clueless aktiv_icon

18:56 Uhr, 23.04.2008

Hi,
Also der Titel sagt eigentlich alles:
Ich möchte die Gleichung

3^{n} = 36000000

nach

n

auflösen.
Die Zahlen sind dabei egal... Nur vom Schema her würde ich gerne wissen wies funktioniert.

Ich wäre über jede Hilfe dankbar.
Gruss

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Dravo5 aktiv_icon

19:00 Uhr, 23.04.2008

3 \land n = 36000000

Das ist gar nicht mal so schwer, man muss nur einen Logarythmus bilden (also den Dekadischen oder Natürlichen, ich nehme letzteren)

dann sieht die Gleichung folgendermaßen aus

ln (3 \land n) = ln (36000000)

Mit den Logarythmengesetzen weiß man, dass man den Exponenten, der in einem Logarythmus steht, auch als Faktor vor den Logarythmus schreiben kann
also:

n \cdot ln (3) = ln (36000000)

Jetzt kann man ganz einfach nach

n

umstellen, also nur nioch durch

ln (3)

n = ln (36000000) : ln (3)

Da die Zahlen ja egal sein sollen, rechne ich das nich aus^^

ich hoffe, die Erklärung reicht dir

Clueless aktiv_icon

19:09 Uhr, 23.04.2008

Jap reicht mir

: D,

Vielen dank. Die Lösung hierbei wäre ja dann

~ 15.837

oder habe ich mich verechnet^^?
Und nochmals danke

: -)

Alexxander24 aktiv_icon

19:18 Uhr, 23.04.2008

Ein wesentlich einfacherer Weg bei Exponenten und Logartihmen.....

man schreibe 3^n=36000000 auch so hin $\log_{3} 36000000 = n$ und formt nach dem geltenden Gesetz um : $\frac{\log 36000000}{\log 3} = n$ und fertig :-)

Clueless aktiv_icon

19:23 Uhr, 23.04.2008

Auch an dich ein Dankeschön

〉

Clueless aktiv_icon

19:31 Uhr, 23.04.2008

Hmm... also ich weiß das kommt jetzt blöd gleich noch eine Frage hinterherzusetzen.
Die Frage gehört an sich zur selben aufgabe, ich muss laufzeiten berechnen

: \frac{-}{}

und mit Matheregeln hab ichs leider nicht so

: - (.

konstane=n*log(n)

. .

. hier dann auch wieder das selbe Problem. Es muss halt nach

n

aufgelöst werden. Das wäre dann auch für heute die lezte Frage

\land .

Dravo5 aktiv_icon

19:59 Uhr, 23.04.2008

erst mal @ Alex
dein Weg sieht zwar einfacher aus, aber er lässt sich nur in die wenigesten Taschenrechner eingeben, wenn du es umformst, kommst du auch aufs Gleiche wie ich, bist halt bloß anders herum rangegangen^^

und jetzt @Clueless

is hier manchmal schwer zu erkennen, wie die Gleichungen denn genau aussehen, aber steht bei dir ein Mal das

n

vor dem log und dann noch mal innerhalb?
Und welche Basis hat der?

Clueless aktiv_icon

20:37 Uhr, 23.04.2008

Also zur Basis steht hier leider gar nix.
Die Gleichung sieht halt wie folgend aus:

v :=

variable

< - -

also das sind halt variable Werte, die Werte sind mir bekannt

v = 50 \cdot n \cdot (log (n));

Ich hab jetzt selber mal einen Lösungsansatz versucht. Hab ein paar Rechenregeln aus dem Internet gefunden. Weiß aber nicht ob das soweit stimmt, vielleicht kann das ja jemand bestätigen.
Also ich gehe wie folgend vor:

v = 50 \cdot n \cdot (log (n)) \Rightarrow

\frac{v}{50} = n \cdot (log (n)) \Rightarrow

\frac{v}{50} = log (n^{n}) \Rightarrow

e^{\frac{v}{50}} = e^{log (n^{n})} \Rightarrow

e^{\frac{v}{50}} = n^{n}

hmm... naja... und das wars dann auch soweit... eigentlich würde ich nun noch die

n'

te Wurzel ziehen, aber das bringt mir ja auch nix wenn ich ja

n

berechnen will...
Hilfee

\land

Dravo5 aktiv_icon

20:41 Uhr, 23.04.2008

also wenn du "e hoch" rechnest, dann kanns eigentlich nur der natürliche Logarythmus

(ln

) sein
und da hast du das Problem, dass

n

einmal vor und einmal im

ln

steht, die bekommst du nicht mit mir bekannten Regeln auf eine Ebene um sie zusammenzufassen, ich könnte es immer nur näherungsweise lösen

Clueless aktiv_icon

20:49 Uhr, 23.04.2008

Also man kann das nlog(n) umformen zu einem

log (n^{n}),

das klappt auf jeden Fall.
http://upload.wikimedia.org/math/4/3/4/4343eb56fda00dd5e31e8ba130563d4c.png
Die Formel mit

e

war mir noch irgendwie im Gedächtnis-> Bei wikipedia gibts dazu auch einen kleinen Artikel unter Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen. de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

Kann man nicht generel, wenn keine Basis angegeben ist, davon ausgehen, dass der log ein natürlicher Logarithmus ist? Bin leider kein wirklich begnadeter Mathematiker um das beurteilen zu können.
Also die Frage würde dann nach wie vor im Raum stehen, wie man an die Werte für

n

kommt.

Dravo5 aktiv_icon

21:36 Uhr, 23.04.2008

Also allgemein muss immer ne Basis bei log gegeben, wenn auch indeirekt, also mit

ln

oder lg, aber wir gehen hier einfach mal von der Basis

e

aus^^

Und deine Rechnung is richtig, hab ich ja auch nich bestritten, ich kenbn die Regel ja auch und hatte erst vor kurzer Zeit genug damit zu tun^^

mokka60 aktiv_icon

21:51 Uhr, 23.04.2008

Hallo,

die Gleicheung

v = n \cdot log (n)

bzw.

v = x \cdot log (x)

bzw.

\frac{v}{x} = log (x)

ist eine sog. transzendente Gleichung wie alle Gleichungen der nachfolgend genannten Form (oder noch komplizierter, wenn sie mit weiteren Bestandteilen angereichert sind)

x = e^{x}

(bzw.

x - e^{x} = 0)

x = ln (x)

x = sin (x)

(bzw.

x = cos (x), x = tan (x))

Man kann sie nicht nach

x

auf lösen.

Man sagt: Ihre Lösung ist nicht "in geschlossener Form" darstellbar,

d . h

. ihre Lösung kann nicht durch einen (ab-)geschlossenen Term (der

x

nicht mehr enthält) ausgedrückt werden.

"Abgeschlossen" bedeutet: Die Arbeiten zur Herleitung der Lösung sind mit der Herleitung eines entsprechenden Terms praktisch "abgeschlossen". Man muss/müsste nur noch alle Zahlenwerte einsetzen, um den Wert des Terms und damit die Lösungszahl auszurechnen.

Abgesehen von einzelnen Sonderfällen

(z . B

a \cdot x - x \cdot e^{x} = 0;

hier kann man

x

ausklammern und mit der Regel "Ein Produkt ist Null, wenn wenigstens ein Faktor Null ist" weiterfahren),kann man hier Lösungen nur mit Hilfe graphischer oder numerischer Näherungsverfahren gewinnen.

MfG

Clueless aktiv_icon

22:05 Uhr, 23.04.2008

Ah, ok verstehe.
Vielen dank!
Ich werds dann mit einem numerischen Ansatz versuchen, also einfach mal das "n" raten und mich dann an das "korrekte"

n

anähern.
Ich glaube ich hätte jetzt noch Stunden versucht eine Lösung zu finden, in diesem Sinne vielen dank nochmals für die Hilfe.

Clueless aktiv_icon

12:11 Uhr, 25.04.2008

Hallo,
Sorry, ich dachte die Aufgabe wäre mir nun inzwischen klar.
Ich hatte an dem Tag an dem ich die Frage gestellt hatte, nachdems schon so spät war, die Ergebnisse nicht mehr berechnet.
Jetzt stehe ich aber vor einem neuen Problem... Irgendwie komme ich nicht auf die richtigen Ergebnisse...
Also entweder habe ich die ganze Aufgabe falsch verstanden, einen Rechenfehler gemacht oder das Ergebnis aus der Angabe ist falsch.
Also hier ist mal Sinngemäß die Angabe:

- - - - - - - - - - -

Sei SuperComputer ein leistungsfähiger Rechner, der in einer Sekunde

1.000

Elementaroperationen
ausführen kann. Für ein bestimmtes Problem seien fünf verschiedene Algorithmen
verfügbar. Hierbei benötigt der i-te Algorithmus bei einer Eingabe der Eingabegröße

n

genau Ti(n) Elementaroperationen, wobei

T 2 (n) = 50

n log (n) /

die anderen Algos hab ich jetzt mal nicht angegeben
Vervollständigen Sie die folgende Tabelle, in der die Eingabegrößen angegeben sind,
für die der i-te Algorithmus auf dem SuperComputer (ziemlich) genau eine Sekunde,
eine Minute, eine Stunde, einen Tag bzw. einen Monat Rechenzeit benötigt.

- - - - - - - - - -

Ok so weit mal die Angabe:
Mein Ansatz war jetzt bisher bei allen Algorithmen, dass ich eben nach "n" aufgelöst habe und dann die jeweiligen Werte für

n

berechnet habe...

So beim jetzigen Algorithmus wollte ich eigentlich genauso vorgehen, aber nachdem man hier wohl nicht nach

n

auflösen kann wollte ich mich eben numerisch an das Ergebis annähern.
Die Berechnungen hätten dann in etwa wie folgend ausgesehen:

1000 = 50

n log (n) /

tausend, da der SC ja pro Sekunde

1000

Elementarereignisse schafft. Das Ergebnis wäre dann hierbei

~ 16 . .

. ich habe dafür einfach im Taschenrechner

16 \cdot log (16) = 20

ausgerechnet, bzw. hab ich halt rumprobiert bis eben

20

rausgekommen ist, da ja

\frac{1000}{50} = 20

und das

n

habe ich dann eben angenähert.
Ich dachte nun, dass der Rechenweg dann auch der richtige sei, doch dem ist anscheinend nicht so

\frac{:}{}

.
Für eine Stunde haben wir ein gegeben Ergebnis:
Also die Eingabegröße bei einer Stunde sollte bei

~ 5763

liegen...
Nun ist ja eine Stunde

3600

Sekunden, dass hieße ja dass der SC pro Stunde

3600 \cdot 1000

Elementarereignisse schaffen würde.
Nach meinem vorgehen würde das dann wie folgend aussehen:

\frac{3600000}{50} = n log (n) ...

Für

n

bekomme ich hier durch anähern aber für

n = 17000

raus und nicht

~ 5763

wie in der Angabe gegeben.
Also ich bin nun wirklich ratlos...
Habe ich die komplette Aufgabe falsch verstanden, speziell bei diesem Algorithmus einen Rechenfehler eingebaut?(also falsche Berechnung mim Taschenrechner?) oder ist der gegebene Wert aus der Angabe fehlerhaft?
Ich wäre über Hilfe sehr dankbar, da ich gerade an einer Stelle angekommen bin bei der ich nicht mehr weiter weiß.

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