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Näherungsweise Bestimmung der Ableitung

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differenzqoutient

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Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

14:34 Uhr, 13.04.2011

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Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion

f

mit

f (x) = 1 : x

an der Stelle

x

null

= 1

mithilfe des Differenzquotienten für

h \to 0

.
Was soll

h

hier sein ?
Das es ein Intervall zwischen zwei Zahlen ist , das weiß ich schon . Nur hier habe ich keine zwei Zahlen , oder ?
Gruß Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Extrema / Terrassenpunkte
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Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

14:38 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Hallo,

schreib doch bitte mal den Differenzequotienten (mit

h \to 0)

hin.

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

14:41 Uhr, 13.04.2011

Antworten

ich denke mal : f(xnull

+ h)

-f(xnull)

: h,

mehr weiß/hab ich nicht , nur dass es sich um die momentane änderungsrate handelt.
Jenny

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

14:44 Uhr, 13.04.2011

Antworten

genau, als Gleichung

z . B :

\frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

jetzt bitte einfach mal den Wert

x_{0} = 1

einestzen und das

h

erstmal so stehen lassen

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

14:46 Uhr, 13.04.2011

Antworten

ok

, : f (1 + h) - f (1) : h

soll ich jetzt nach

h

auflösen ?

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

14:50 Uhr, 13.04.2011

Antworten

nein nicht nach

h

auflösen.
Da hier in der Angabe "näherungsweise" steht, würde ich mal einfach für

h

eine kleine Zahl einsetzen

(z . B . 0,05)

. Schreibs mal bitte hin und setze Klammern vor und nach dem "Bruchstrich" ;-)

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

14:54 Uhr, 13.04.2011

Antworten

ok :-)

\frac{f (1 + 0,05) - f (1)}{0,05}

müsste das nicht 1 sein ?

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

14:55 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Oben beim Differntialqoutienten habe ich gerade noch verbessert.

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

14:56 Uhr, 13.04.2011

Antworten

rechne bitte nochmal genau und achte auf die Vorzeichen!
Vergiss nicht:

f (x) = \frac{1}{x}

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

14:59 Uhr, 13.04.2011

Antworten

bei mir kommt 1 raus

: (

also

: \frac{1 + 0,05 - 1}{h}

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:03 Uhr, 13.04.2011

Antworten

schau doch mal:

\frac{\frac{1}{x_{0} + 0,05} - \frac{1}{x_{0}}}{0,05} =

?

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:07 Uhr, 13.04.2011

Antworten

ich verstehe nicht wie du das

f (x) = \frac{1}{x}

mit in die Formel integrierst

: (

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:12 Uhr, 13.04.2011

Antworten

na, das steht so im Differenzenquotienten drin. Keine Angst, dieser Schritt ist wirklich nicht leicht!

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

und da

f (x) = \frac{1}{x}

ist hier

f (x_{0} + h) = \frac{1}{x_{0} + h} = \frac{1}{1 + 0,05}

und

f (x_{0}) = \frac{1}{x_{0}} = \frac{1}{1}

und

h = 0,05

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:17 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Alles klar , hab ich verstanden.

!!!

Vielen Dank :-)

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:19 Uhr, 13.04.2011

Antworten

und was kommt nun hier für ein Zahlenwert raus?
Weisst Du auch, wie der Graph dieser Funktion

f (x) = \frac{1}{x}

aussieht?

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:21 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Ich bekomme da

(- 0,95)

heraus.

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:23 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Ist die Stelle xnull eig. immer 1 ?

Antwort

funke_61

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15:23 Uhr, 13.04.2011

Antworten

gut, und warum ist das richtig?

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:24 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Mhh , weil es nur ein Näherungswert für eine Zahl ist ?

Antwort

funke_61

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15:24 Uhr, 13.04.2011

Antworten

x_{0}

kann man in der Regel frei wählen. Hier in der Aufgabe ist aber nach der Stelle

x_{0} = 1

gefragt.

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:25 Uhr, 13.04.2011

Antworten

und was wäre hier die genaue Ableitung an der Stelle

x_{0} = 1

?

Jenny345

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15:27 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Mhh , ich weiß nciht genau was du meinst , vielleicht das der Näherungswert gegen 1 geht ?

Antwort

funke_61

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15:31 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Du hattest als Antwort oben

- 0,95

(das war korrekt) warum antwortest Du dann jetzt "gegen 1"?
kannst Du mit dem Wort "ableiten" bzw. "differenzieren" schon was angangen?

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:33 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Ne weiß ich nicht

: (

Bis jetzt wurden bei uns nur die Begriffe eingeschärft.

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:35 Uhr, 13.04.2011

Antworten

ok. dann kommt das demnächst in deiner Schule - weiterhin möglichst viel Spaß mit Mathe.

LG Josef

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:37 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Warte bitte kurz , eine Frage hätte ich noch.
Wenn ich statt

f (x) = \frac{1}{x}

nun

x^{2}

einsetzen würde , wie muss ich das dann auf den Bruch anwenden ?
Danke ;-)

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.04.2011

Antworten

Nimm bitte als Muster das was ich um

15 : 12

Uhr,

13.04.2011

gepostet habe.
Der einzige Unterschied ist, dass Du statt

f (x) = \frac{1}{x}

die neue Funktion

f (x) = x^{2}

nimmst und die folgenden Zeilen entsprechend einsetzt.
Nur wenn Du es selber machst, dann machts "klick"!

Jenny345

Jenny345 aktiv_icon

15:48 Uhr, 13.04.2011

Antworten

gut , also dann vielleicht so :

\frac{\frac{1^{2}}{1 + 0,05} - \frac{1^{2}}{1}}{0,05}

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:51 Uhr, 13.04.2011

Antworten

leider nicht, das war kein guter Versuch. Probiers nochmal ;-) und tschüß!

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