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Nullstellenberechnunge bei Sinus
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Nullstellen, Sinus
 
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Liebste Mathe-Freunde. Ich habe ein Problem mit meinem herzgeliebten Freund. Dem sinus. wir haben folgende gleich für Nun soll ich die Nullstelle berechnen. so und nun? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Nullstellen Nullstellen bestimmen Polynomdivision Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Nullstellen Nullstellen bestimmen |
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f(x)=0 <=> sin(z)=0,5 z=pi/6 oder z=5pi/6 da der Sinus im Intervall von 0 bis 2pi in diesen Stellen den Funktionswert 0,5 annimmt. Es gibt also sogar 2 Nullstellen in deinem vorgebenen Intervall. |
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Okay klingt alles logisch. Nur, ich weiß nicht, wie ich von auf das Ergebnis von oder z=5pi/6 komme. ist das dann durch probieren gelöst, weil mein TI löst mir nicht auf |solve,x |
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Hallo CedeXx, Generell müssen wir erstmal Folgendes überlegen: Von dem Term 2⋅sin(x-(Π/3)) soll eine 1 abgezogen werden und da soll 0 rauskommen. Ersetzen wir, wie Du es getan hast, x-(Π/3) durch (Damit wir es etwas einfacher haben). Dann haben wir stehen: 2⋅sin(z) *arcsin arcsin(0,5) | Rücksubstituieren (Π/3) = arcsin(0,5) (Π/3) arcsin(0,5) (Π/3) Dann wissen wir, dass der Sinus ja periodisch ist. Das heißt, dass im nächsten Durchlauf, also nach einer kompletten Umdrehung, wieder die Nullstelle erreicht ist. Und nach wiederum einer weiteren Umdrehung erneut usw. Also drehen wir das ganze einfach mal, und definieren als ein Element aus der Menge de rganzen Zahlen, also € (keine Ahnung, wie das Elementzeichen geht :-) ). Somit haben wir: 2Π € (denn 2Π ist genau eine Umdrehung). Übrigens ist genau Π/2. Somit haben wir: Π/2 2Π Edit: Ach so, ich habe überlesen, dass Du das nur ein einem bestimmten Intervall angeben solltest... Ich habe die Rechnung jetzt komplett ohne Übersichtstabelle (die für sowas hilfreich ist) gemacht, kann sein, dass ich noch irgendeine Nullstelle unterschlagen habe... |
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Okay, das war schonmal richtig hilfreich und gut, danke! Nun hab ich das ganze nochmal grafisch gecheckt und hab bei auch noch eine Nullstelle. Dafür müsste ich ja in die Formel bei . einsetzten, aber das beißt sich ja, dass ganzzahlig sein muss. So hätte ich ja immer nur die Nullstelle nach einer ganzen Umdrehung, die ich erfassen würde. Wie bekomme ich jetzt die andere raus? |
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Zum Thema wie man auf pi/6 und 5pi/6 kommt lies dir dazu vielleicht mal das hier durch: http//sos-mathe.ch/pdfg/g44_1.pdf Wenn du dir den Sinusgraphen mal anschaust kann man das eigentlich gut nachvollziehen. |
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drehen wir einfach dann eine halbe umdrehung weiter oder wie?! Ich versteh deine Seite erst recht nicht.. Sorry. |
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Sorry, wenn ich mich auch noch einmische. Hast du schon mal eine Sinusfunktion gesehen? Ich denke, ja. Zeichne dir mal schnell irgendwo eine auf, . mit der Parabel-Schablone, da ist der Sinus mit drauf. Und dann leg eine Gerade drüber mit . Dann siehst du, dass diese zwischen 0 und genau zweimal die Sinusfunktion schneidet. Die erste Stelle ist bei 30° oder die zweite ist genau um vor die 180° oder erreicht sind, also bei . Kannst du es dir dann besser vorstellen? Der Rest ist ja dann nur noch reine Rechenarbeit: bzw. |
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Ja klar, das ist mir auch durchaus bewusst nur eine rechnerische Lösung fehlt mir hier nur irgendwie.. Also ich hab jetzt mal drüber nachgedacht und hab mir überlegt, dass die Sinus funktion da dann nochmal schneidet, wenn man das Ergebnis des ersten Schnittpunktes von 1 abzieht? Also nehmen wir an der Schnittpunkt wäre nicht bei sondern dann wäre der andere Schnittpunkt auch bei ? |
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Ist für meinen Geschmack etwas schief formuliert, aber trifft das Richtige. Nachdem die Sinusfunktion zwischen 0 und achsensymmetrisch zu verläuft, ergänzt sich die Summe der beiden Schnittpunkte immer zu . Ausnahme: Berührpunkt bei . Sprich: In diesem Fall gibt es eben nicht zwei, sondern nur eine Nullstelle. Was ich nicht verstehe, ist, wo denn jetzt eigentlich noch das Problem liegt? Man muss halt wissen, dass ° gilt |
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Mit der Rechnung von Hawaiihemdtraeger konnte ich gut was anfangen, da das ganze einfach rechnerisch einleuchtet. Aber ich hab das mit diesen Gradzahlen nicht drauf, nehme ich mal an, dass ich nun den Schnittpunkt mit der obrigen genannten Methode berechnet habe (das liegt schon erstmal daran, dass ich nicht auf die käme, weil es mir einfach nicht einleuchtet, warum das so ist) Dann hätte ich keine Ahnung, was ich dann nun mit der Zahl mache, geschweige denn, wie ich sie in eine Gradzahl umwandle Ich bin gerade echt am Verzweifeln hier. |
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Ok, das heißt, dir fehlen die Basics der Trigonometrie, würde ich sagen. Dann versuch ich mal, da ein bisschen Licht ins Dunkel zu bringen. Der Umfang eines Kreises ist . Wenn man nun eine Kreis mit Radius 1 nimmt, ist der Kreisumfang . Diesen sog. Einheitskreis verwendet man für die Veranschaulichung der Zusammenhänge bei Sinus, Cosinus usw. Zunächst legt man den Einheitskreis so über ein Koordinatensystem, dass der Kreismittelpunkt im Ursprung liegt. In dieses Set kann man dann von der positiven x-Achse ausgehend einen Winkel am Mittelpunkt abtragen. Dem Kreis einbeschrieben entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse dem Radius 1 entspricht. Die Katethe, die auf der x-Achse liegt, entspricht dem pih, die Kathete, die senkrecht dazu steht, entspricht dem . Das Stück des Kreisbogens zwischen x-Achse und Schnittpunkt der Hypothenuse mit dem Kreis ist eindeutig einem bestimmten Winkel zuordenbar. Für den Winkel 45° ist das . oder für 30° . Soweit klar? |
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Ja, also kommt für die Nullstellenberechnung immer nur eine grafische Lösung in Frage?! |
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Nein, so würde ich es nicht sehen. Du kannst ja den arcsin mit dem Taschenrechner berechnen. Du musst aber eben Kenntnisse über den Sinus am Einheitskreis oder die Sinusfunktion haben, um das Ergebnis zu interpretieren. Denn der Taschenrechner wirft natürlich immer nur eine Zahl aus. Wenn das Intervall, in dem deine Nullstellen liegen können aber größer ist, können es eben auch mal eine ganze Menge Nullstellen sein, die aber rhythmisch angeordnet sind. Es steckt also System dahinter und damit ist es dann auch nicht soooo furchtbar schwer. |
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Okay alles klar, vielen dank! Ihr habt mir sehr geholfen! Vielleicht zieh ich euch noch weiter zu Rat, da ich eine ganze Kurvendiskussion machen muss und Extrem und Wendestellen ja auch noch kommen! Ihr seid echt spitze! Viele lieben Grüße Moritz |
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. entspricht ja auch nicht sondern . Oben war ja noch die Rechnung: und da kommt für raus. Wenn du die Zahl, die du errechnet hast, durch teilst, dann kennst du den Teil von den sie darstellt. Wenn man das Wissen über sin und das man aus dem Einheitskreis kriegt, erst mal hat, braucht man sich den nicht dauernd aufzuzeichnen. Vielleicht solltest du dir einfach mal den Wiki dazu durchlesen. Dort gibt es auch eine Zeichnung zum Einheitskreis, dann wird es vermutlich klarer. http//de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie |
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magix: Du bist echt spitze! Danke dir für deine ausgibige und tolle Hilfe. Schön, dass es solche Menschen wie dich gibt! Nun bin ich direkt bei meinem nächsten Problem. Extremstellen von dieser Funktion. wäre ja dann und um die Extremstelle zu berechnen müsste sein. Nun weiß ich auch hier wieder nicht, wie ich vorgehen muss. Auch die Lösung meines TI's kann ich nicht interpretieren, da er ja die Lösunt für die gesamte Funktion ausspuckt und nicht nur für mein Intervall Aber ich schreib sie hier einfach mal hin: |solve,x (komisch, ich muss hier was vorschreiben, damit das @ da steht)@ Wie würde ich denn jetzt diese Hochstelle und Tiefstelle berechnen? |
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Wie kommst du denn auf diese Ableitung? |
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Das vorhin jedenfalls mein Ti gesagt, aber nun sagt er mir komische Sache .. die Lösung kam mir auch irgendwie komisch vor :-D) und für |solve,x wäre dann die Lösung x=(540*at(@)n8+Pi-270)/3 |
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Das ist nicht das Problem. Die Lösung ist auch die, die Wolfram Alpha ausspuckt. Aber es ist nicht die, die ich ausspucken würde, wenn ich das mal einfach so ableite. Ich wollte eigentlich nur wissen, ob du das selber ableitest oder ob du nur irgendwo was eintippst, ohne wirklich zuverstehen, was du tust. |
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Stimmt ist alles totaler Schwachsinn... Ich habs selber im Kopf mal nachgerechnet und richtig wäre ja oder ja? |
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Und wo braucht man bei dieser Funktion Produktregel und Kettenregel? |
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Nirgends.. Nur die Kettenregel. Edit: Stimmt, macht der Gewohnheit. Tut mir Leid. |
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Warum veränderst du eigentlich deine Beiträge, ohne das kenntlich zu machen? Das ist verwirrend und auch nicht fair. Ich antworte auf deinen letzten Beitrag und wenn ich fertig bin, steht was anderes da und andere Leute, dei das lesen müssen mich für einen Volliditonen halten, weil das, was ich schreibe, nicht zu dem davorgehenden passt. |
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Kommt nicht wieder vor. |
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zurück zu deinen Hoch- und Tiefpunkten. Wenn dann bekommst du den Anteil von indem du den exakten Wert, den dein TI ja ausgibt, durch teilst. Dann sollte rauskommen. |
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Ja, aber der gibt ihn mir ja nur aus, weil ich in dem Graphen nach dem Tiefpunkt suche und das ist ja keine mathematische Lösung. Verstehst du das Problem? Ich hab wzar die Lösung, muss aber erstmal auf den Lösungsweg kommen. |
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Nein, ich verstehe das Problem ehrlich gesagt nicht. Ich hab keinen TI und ich hab auch noch nie einen benötigt, um die Funktionen, die in der Schule vorkommen, einer Kurvendiskussion zu unterziehen. Ich geb dir den Rat, den TI einfach mal beseite zu legen und das Ganze per Hand zu machen. Dann verstehst du besser, was da wirklich gemacht wird und weißt nachher auch, wie man vorgeht. |
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damit würde durch Substitution rauskommen oder :edit :edit und da dann ja noch die Rücksubstition folgen müsste wäre das Maximum bei und das Minimum bei |
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Schon besser. Aber man sieht, wozu das ewige Taschenrechnergetippe führt, nämlich dass nicht mehr sauber mathematisch gearbeitet wird. ist ein eklatanter Missbrauch des Gleichheitszeichens. So geht's nicht! Und wenn du es richtig machst, dann dürfte dir auch klar werden, dass die letzte Zeile so nicht stimmt. Denn die beiden Zeilen darüber sind ja gerade die Rücksubstitution. Somit kommt am Ende und heraus. Edit: Mach um Himmels Willen da oben das Gleichheitszeichen weg, aber schreib "Edit" davor, dann weiß man, dass du nachträglich etwas geändert hast. |
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