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Numerische Differentiation durch 3 Punkte

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Ableitung, Numerische Differentation, Sonstig

StudentFHT aktiv_icon

08:32 Uhr, 23.06.2016

Ich brauche den Lösungsweg von Anfang bis zum Ergebnis inkl. Formeln für das folgende Beispiel. Wäre sehr dankbar für eine detaillierte Erklärung inkl. Lösungsschritte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Werner-Salomon aktiv_icon

12:02 Uhr, 23.06.2016

Die Gleichung für den zentralen Differenzenquotienten lautet:

f ʹ (x) = \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h} + O (h^{2})

s. de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Differentiation

Bestimme jetzt einfach den Wert an der Stelle

x = 2

mit

h = 1

und vernachlässige

O (h^{2})

Das Ergebnis stimmt an der Stelle

x

bei drei äquidistanten Punkten exakt mit der Steigung einer Parabel durch diese drei Punkte überein.

Gruß
Werner

StudentFHT aktiv_icon

12:26 Uhr, 23.06.2016

Weshalb ist

h = 1

Werner-Salomon aktiv_icon

12:36 Uhr, 23.06.2016

Im Prinzip kannst Du ja für

h

wählen was Du willst.

In Deinem speziellen Fall sind aber nur drei Paare von

x

und

f (x)

gegeben

f (1) = 0

f (2) = 3

f (3) = 2

Es liegen keine weiteren Informationen für die Funktion

f (x)

vor. Die Aufgabe war, die Steigung an der Stelle

x = 2

zu bestimmen.
Der zentrale Differenzenquotient benötigt für die Berechnung zwei Werte an den Stellen

x + h

und

x - h

- siehe Formel oben.
Also braucht es an zwei Stellen

x_{0} = x - h

und

x_{2} = x + h

zwei bekannte Werte

f (x_{0})

und

f (x_{2})

.

Wie würdest Du

h

wählen, um ein

x_{0}

und

x_{2}

zu erhalten, deren Funktionswerte bekannt sind?

Gruß
Werner

StudentFHT aktiv_icon

12:50 Uhr, 23.06.2016

Habe ich es so richtig verstanden? Die erste Ableitung ist 1. Und wie lautet die Formel für die 2.Ableitung? Vielen Dank für deine Unterstützung.

Werner-Salomon aktiv_icon

13:02 Uhr, 23.06.2016

zur 2.Ableitung.

Führe das oben gesagte konsequent fort. Ganz formal ergibt sich:

f ʺ (x) = \frac{f ʹ (x + h) - f ʹ (x - h)}{2 h} + O (h^{2})

also benötigst Du an zwei Stellen die Werte für

f ʹ

.

Oben hast Du schon gesehen, dass man die Ableitung für einen Wert berechnen kann, der zwischen zwei Punkten liegt - oben waren das

x_{0}

und

x_{2}

.
Jetzt nehem doch einfach das Paar

x_{0} = 1

und

x_{1} = 2

um einen Abeitungswert an der Stelle

x_{01} = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) = 1, 5

zu berechnen (was ist

h

jetzt?) und dann noch das Paar

x_{1} = 2

und

x_{2} = 3

für den zweiten Wert an der Stelle

x_{12} = \frac{1}{2} (x_{2} + x_{1}) = 2, 5

.

Alles oben einsetzen und das Ergebnis ist -4. (das geht im Kopf!)

Gruß
Werner

StudentFHT aktiv_icon

13:20 Uhr, 23.06.2016

x_{01} = \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2})

oder

\frac{1}{2} (x_{1} + x_{0})

StudentFHT aktiv_icon

13:23 Uhr, 23.06.2016

Und wenn ich für 1.Ableitung anwenden würde, ist das Ergebnis:

x_{02} = \frac{1}{2} (x_{2} + x_{0}) = \frac{1}{2} (3 + 1) = \frac{1}{2} (4) = 2

Mein Ergebnis in der Abbildung ist aber 1

Werner-Salomon aktiv_icon

13:24 Uhr, 23.06.2016

Oh - copy & paste-Fehler!

natürlich muss es richtig heißen: "... das Paar

x_{0} = 1

und

x_{1} = 2

um einen Abeitungswert an der Stelle

x_{01} = \frac{1}{2} (x_{0} + x_{1}) = 1, 5

zu berechnen"

Du schreibst: "Und wenn ich für 1.Ableitung anwenden würde, ist das Ergebnis:

x02=(x2+x0)/2=(3+1)/2=(4)/2=2

Mein Ergebnis in der Abbildung ist aber 1"

Das ist alles korrekt; nur war von x02 nie die Rede. Und