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Parabeln: Funktionsvorschriften bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Koordinatenachsen, Nullstellen, Parabel, Quadratische Funktion, Schnittpunkt

donnie aktiv_icon

18:28 Uhr, 04.11.2012

Hallo,

verstehe die Aufgabenschritte nicht ganz und komme auch nicht wirklich weiter.

Aufgabe:

In der folgenden Darstellung sind in ein und dem selben Koordinatensystem zwei Normalparabeln eingezeichnet.

a)

Bestimmen sie die Funktionsvorschriften der beiden Parabeln.

b)

Ermitteln sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen beider Parabeln.

c)

Bestimmen sie die lineare Funktion, die die beiden Scheitelpunkte miteinander verbindet

d)

Offensichtlich schneiden sich die beiden Parabeln - ermitteln sie die Koordinaten des Schnittpunktes.

Lösungsvorschlag:

Die Parabeln haben diese Scheitelpunkte: 1.Parabel:

(- 4; - 2)

und die 2. Parabel

(3; - 5)

Die Parabeln sind auf der X-Achse entlang verschobene Parabeln, denke ich mal.

Also

{(x - d)}^{2} + e

1. Parabel:

{(x + 4)}^{2} - 2

2. Parabel:

{(x - 3)}^{2} - 5

Aufgabe

2)

Schnittpunkt mit der Y-Achse: Sy (0;?)

x = 0 = = \Rightarrow y = f (0) = - 2

Schnittpunkt mit der X-Achse Sx (?;0)

y = 0 = = \Rightarrow y = f (x) = 0 = x^{2} - 8 x - 18

Mit Pq-Formel

P = - 8

q = - 18

Ich krieg hier bei völlig andere Werte als mein Lehrer raus. Kann mir jemand weiterhelfen? (Ich rechne mit dem Taschenrechner, aber kriege das nicht hin)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
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Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Nullstellen
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pleindespoir aktiv_icon

18:34 Uhr, 04.11.2012

"a) Bestimmen sie die Funktionsvorschriften der beiden Parabeln. "

was ist da Dein Ergebnis ?

Ach ja - und vermutlich gabs ein Bild zu der Aufgabenstellung - warum können wir das nicht sehen ?

donnie aktiv_icon

18:42 Uhr, 04.11.2012

Das ist doch die Funktionsvorschrift oder?

1. Parabel: f(x)=(x+4)²-2

2. Parabel: g(x)=(x−3)²-5

pleindespoir aktiv_icon

18:44 Uhr, 04.11.2012

Im weitesten Sinne ja - aber die Normalform oder allgemeine Form wäre für weitere Betrachtungen günstiger, als die Scheitelpunktform.

donnie aktiv_icon

18:49 Uhr, 04.11.2012

Okay, dass wäre dann die Normalform.

Normalformen:

1) f (x) = x^{2} + 8 x - 14

2) g (x) = x^{2} - 6 x - 14

Richtig?

pleindespoir aktiv_icon

18:52 Uhr, 04.11.2012

Damit sind schon mal ganz billig zwei Punkte gerettet.

Jetzt die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

klar wie das gemeint ist ?

donnie aktiv_icon

19:02 Uhr, 04.11.2012

Das mit dem Schnittpunkten verstehe ich glaube ich schon, allerdings kriege ich das nicht hin, wie ich das mit der Pq-Formel ausrechne.

1.Parabel:

Schnittpunkt mit der Y-Achse: Sy (0;?)

x = 0 = =

⇒

y = f (0) =

− 2

Schnittpunkt mit der X-Achse Sx (?;0)

y = 0 = =

⇒

y = f (x) = 0 =

x^2− 8x−18

p = - 8

q = - 18

Mit Pq-Formel lösen, aber ich kriege immer andere Ergebnisse hier raus.

pleindespoir aktiv_icon

19:09 Uhr, 04.11.2012

Normalformen:

1)

f (x) = x^{2} + 8 x - 14

Schnittpunkt mit der y-Achse bedeutet x=0

soweit warst du schon - jetzt aber x=0 auch einsetzen:

f (0) = 0^{2} + 8 \cdot 0 - 14

und mir bitte erklären, wie du dabei auf -2 kommst ?!

donnie aktiv_icon

19:16 Uhr, 04.11.2012

Und für Aufgabe

d)

muss ich doch lediglich die Scheitelpunkte der beiden Parabeln

(- 4; - 2)

und

(3; - 5)

in die Steigungsformel einsetzen:

m = - 5 - - 2

dividiert durch

3 - - 4 = - \frac{3}{7}

Also

M = - \frac{3}{7}

Jetzt Schnittpunkt mit der Y-Achse berechnen

- 2 = - \frac{3}{7} \cdot (- 4) + b

- 2 = \frac{12}{7} + b

b = - \frac{26}{7}

l (x) = - \frac{3}{7} x - \frac{26}{7}

donnie aktiv_icon

19:18 Uhr, 04.11.2012

Ach du hast recht, ich habe die Zahl

Y

aus der Scheitelpunktform genommen, dort war sie ja

(- 2)

. Für die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen brauche ich immer die Normalform?

Erste Parabel:

Schnittpunkt mit der Y-Achse: Sy (0;?)

x = 0 = =

⇒

y = f (0) =

−14

Sy

(0; - 14)

Schnittpunkt mit der X-Achse Sx (?;0)

y = 0 = =

⇒

y = f (x) = 0 =

x^2− 8x−18

p=−8
q=−18

Und jetzt komme ich nicht weiter mit der Pq-Formel.

Atlantik aktiv_icon

19:47 Uhr, 04.11.2012

Dann ohne

p, q

Formel:

x^{2} - 8 x - 18 = 0 | + 18

x^{2} - 8 x = 18

Nun die quadratische Ergänzung

{(\frac{- 8}{2})}^{2} = 16

auf beiden Seiten addieren:

x^{2} - 8 x + 16 = 18 + 16 = 34

Jetzt das 2.Binom:

{(x - 4)}^{2} = 34 | \sqrt{}

x - 4 = \pm \sqrt{34} = \pm 5,831

x_{1} = 9,831

x_{2} = - 1,831

mfG

Atlantik

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