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Steigung aus Ableitung? Wie geht das?
Schüler
Tags: Ableiten, Ableitung, Differenzenquotient, Steigung
 
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Hallo beisammen, Ich hätte mal eine kleine Frage an euch und hoffe doch sehr, dass mir der ein oder andere damit weiterhelfen kann :-) Und zwar war ich für 1 Jahr in Amerika und habe nun ein wichtiges Thema nachgeholt, welches ich dort in meinem Mathematikkurs nicht hatte: Die Ableitung. Ich habe soweit alles verstanden wenn es um das Ableiten selbst geht, jedoch muss ich gestehen, dass mir der Sinn des Abelitens noch nicht ganz klar geworden ist. Mir ist bewusst, dass die Ableitung die Steigung einer Funktion ist, jedoch wie genau finde ich mit einer Ableitungsfunktion die Steigung der Originalfunktion (Stammfunktion)? Und außerdem, gibt mir die Ableitungsfunktion die Steigung an exakt einem Punkt, oder zwischen zweien an? Während ich die Ableitung nachholte, guckte ich mir auch den Differenzenquotient an, welcher mir ja die durchschnittliche Steigung zwischen 2 Punkten einer Funktion gibt. Um ehrlich zu sein kommt mir hier der Grund des Ganzen viel plausibler vor. Ich weiß genau, warum ich den Differenzenquotient errechne: der durchschnittliche Steigung wegen. Doch wozu dient die Ableitungsfunktion? Was kann ich mit ihr herausfinden, und viel wichtiger, wie tue ich dies? Wenn, wie finde ich mit ihr die Steigung an einer gewissen X-Stelle der Stammfunktion? Gibt sie mir die Steigung an exakt einem Punkt, oder zwischen zweien an? Und außerdem, wie helfen weiter Ableitungen höheren Grades der Stammfunktion beim herausfinden der Steigung oder anderen Daten? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Mfg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel | |
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de.serlo.org/mathe/funktionen/ableitung-funktionen/ableitung-allgemein/ableitung de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitungsberechnung |
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Hallo, der Differenzenquotient ist die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten und . Dann lässt man gegen 0 gehen und erwartet, dass dieser Quotient so etwas wie die lokale Steigung des Graphen von in einer Umgebung des Punktes ist. Falls der Grenzwert existiert, definiert man dies als Steigung von im Punkt . Also ist die Steigung. Gruß pwm |
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anonymous 12:54 Uhr, 04.08.2017 |
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Hallo Um das nochmals in hoffentlich besser eingängige Worte zu fassen: Der Differenzenquotient, das hast du schon in etwa richtig erfasst, ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten. Der Differenzialquotient, oder in anderen Worten die Ableitung, ist die Steigung in diesem einen Punkt. Und - du bist offensichtlich nach sehr am Anfang im Umgang mit Ableitungen und Differenzialen. Vorschlag: Es ist gut, sich über den Tellerrand hinaus umzusehen und weiter zu denken. Es macht aber auch nur begrenzt Sinn, jetzt schon nach Amerika Ausschau zu halten, wenn du noch vom Teller aus kaum über den Tisch sehen kannst. Sei gewiß und versichert: Die Ableitungen haben mannigfaltigen Sinn und geben unendlich viel Möglichkeiten, Dinge zu untersuchen, zu analysieren und besser verständlich zu machen. Es wird gut sein, wenn du dich Schritt für Schritt mit den Dingen vertraut machst, und den Anleitungen eines Lehrers, eines Dozenten oder eines Buches vertrauend nach und nach deine Vorstellungskraft und Verständnis steigerst. Um deinen Wissensdurst ein wenig anzuregen und zu motivieren, ein Beispiel: Sehr häufig wirst du die Aufgabe haben, im Funktionsverlauf irgend einer Sache, sei es die Zeit, die Spannung, die Leistung, das Volumen ein Maximum zu suchen. Sprich, du wirst evtl. die Zusammenhänge erfassen und als Funktion zu Papier bringen. Diese Größe, nehmen wir mal beispielhaft das Volumen, wird also steigen, steigen, steigen, bis es irgendwo das Maximum gefunden hat, danach wird es also fallen, fallen und weiter fallen. Mal dir mal eine Skizze auf Papier. Überleg dir mal: Was gilt denn für die Steigung, sprich für die Ableitung der Funktion? Richtig: Bis zum Maximum (steigend, steigend, steigend) wird die Ableitung sprich die Steigung positi sein. Nach dem Maximum (fallend, fallend, fallend) wird die Ableitung sprich die Steigung negativ sein. Im Maximum selbst, du kannst es skizzieren und anstellen wie du willst, wird stets die Ableitung Null sein. Mach mal eine Skizze! Probier mal ob du es irgendwie schaffst, eine stetige Funktion zu pinseln, deren Maximum nicht eine waagrechte Steigung, sprich die Steigung oder Ableitung gleich Null hat. Das ist immer so. Und weil es immer so ist, nutzt man eben die Nullstellen der Ableitung um darin zu entdecken, dass die (Original-) Funktion ein Extremum, sprich wahrscheinlich ein Maximum hat. Geduld! Du wirst entdecken, dass die Ableitungen, einmal verstanden, viel, viel Gutes und Nützliches mit sich bringen! |
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Hallo vielleicht hilft dir, dass Newton (und Leibniz) bei der Entwicklung der "Ableitung" weniger an Graphen von Funktionen dachten und deren Tangenten, sondern an die Bewegung von Körpern und ihrer Geschwindigkeit. Wenn etwa ein Stein fällt, oder ein Auto beschleunigt, interessiert die Geschwindigkeit in jedem Moment. Messen kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitraum, in dem man den Weg in der Zeit misst und durch den Zeitabschnitt teilt. Was passiert jetzt, wenn man Zeitabschnitt immer kleiner macht? die Geschwindigkeit nähert sich immer mehr einem bestimmten Wert. Wenn dieser Wert für Durchschnittsgeschwindigkeiten vor und nach dem betrachteten Zeitpunkt sich immer näher kommt, definiert man diesen Wert als "Momentangeschwindigkeit! in dem Zeitpunkt. Der Tachometer im Auto etwa zeigt den in jedem Zeitpunkt. und nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit der letzen Sekunde. Das wird jetzt für Graphen von Funktionen genauso gemacht. du kannst etwa bei die durchschnittssteigun des Graphen zwischen und und die zwischen und ansehen dann den Abstand verkleinern und den zwischen und 2 und 2 und ansehen und dann den zwischen und 1 und 2 und usw, der Wert den du dabei immer zwischen den 2 Steigungen liegen hast, nennst du schließlich die Steigung am Ort weil das die einzige "vernünftige" Definition ist. Am besten du rechnest mal die 3 vorgeschlagenen oberen und unteren Steigungen aus, mit dem TR geht das schnell, und wenn du dann noch an die Grenzen deiner TR Genauigkeit gehst also von bis 2 und 2 bis siehst du dass der Wert 4 als Steigung immer dazwischen liegt und immer genauer von den Durchschnittsgeschwindigkeiten erreicht wird. Leuchtet dir das ein? (dass eine "Steigung" in einem Punkt erst mal ein sehr neuer und schwieriger Begriff ist, hast du richtig erfasst, in deinem versäumten Unterricht, wurde das hoffentlich so langsam gemacht, dass man es kapieren konnte, im buch geht das alles etwas schnell. deshalb solltest du sie ein paar Experimente wie oben vorgeschlagen wirklich mal machen) Gruß ledum |
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Hallo, Vielen Dank für eure Hilfe! Das mit dem "h gegen 0 gehen lassen" scheint mir plausibel. Jedoch hat das noch nicht ganz meine Frage beantwortet, da dies sich ja hauptsächlich auf den Differenzenquotienten konzentrierte. Ich habe mal eine Beispielgrafik hochgeladen, um meine Frage genauer zu erklären: Hier haben wir die Stammfunktion . Diese habe ich abgeleitet zu . Laut serlo.org gibt mir die Ableitung "an einer Stelle die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an". Wenn man aber die Ableitung sowie die Stammfunktion anguckt und diese bei vergleicht, so haben beide unterschiedliche Steigungen. Also wie, mit meiner abgeleiteten Form finde ich die Steigung der Funktion bei einer gewissen x-stelle, sagen wir ? Danke! MfG  |
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Die Steigung muss nicht an jeder Stelle gleich sein. Nur bei linearen Funktionen/Geraden ist das so. Es kommt immer auf die jeweilige Fkt. an, die du ableitest. |
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Die Steigung muss nicht an jeder Stelle gleich sein. Nur bei linearen Funktionen/Geraden ist das so. Es kommt immer auf die jeweilige Fkt. an, die du ableitest. |
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Alles klar, wenn ich einsetze, ist die Steigung bei der Parabel 4. Doch wenn ich in die Ableitung einsetze bekomme ich eine Steigung von obwohl sie bei der Parabel 1 sein sollte? |
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"obwohl sie bei der Parabel 1 sein sollte?" Warum sollte sie das? Parabeln haben an unterschiedlichen Stellen unterschiedlliche Steigungen. Du hast da irgendwas missverstanden. |
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Dann was genau gibt mir an? |
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An der Stelle hat die Tangente an den Graphen die Steigung 2. Diese Tangente ist eine Gerade, die natürlich als solche überall die Steigung 2 hat. |
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Danke, leider habe ich den Zusammenhang zwischen dem Ableitungsgraphen und dem Graphen der Stammfunktion immer noch nicht verstanden. Soweit ich es verstanden habe, gibt mir die Gleichung der Ableitung die Steigung der Tangente die an der EXAKTEN X-Stelle, die von mir in eingegeben wurde, des Originalgraphen verlaufen würde. Somit muss mir ja die Ableitung auch die exakte Steigung an dieser EXAKTEN X-Stelle geben, richtig? Wozu dann der Differenzialquotient? Doch die beiden Graphen selbst, Ableitung und Stammfunktion, haben mir noch wenig gleich, außer dass die beiden erst negativ sind, dann dann positiv werden. |
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Der Begriff Stammfunktion ist hier nicht zutreffend. Stammfunktion meint etwas anderes. Hier geht es um die Ausgangsfkt. und deren Ableitungsfunktion . Unter der Stammfunktion versteht man die Funktion, deren 1. Ableitung die Ausgangsfkt. ergibt. Beachte die Buchstaben! Schau mal hier: http//matheguru.com/analysis/differentialrechnung/98-differentialquotient.html |
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Wenn man aber die Ableitung sowie die Stammfunktion anguckt und diese bei vergleicht, so haben beide unterschiedliche Steigungen. Ja - und was genau irritiert dich daran? Supporter hat sich übrigens geirrt. An der Stelle ist die Steigung natürlich 4. Ich weiß nicht, warum es dich irritiert, dass Funktion und Ableitung unterschiedlich aussehen. Der WERT der Ableitung an einer Stelle gibt die STEIGUNG der Funktion (genauer: des Graphen der Funktion) an dieser Stelle an. außer dass die beiden erst negativ sind, dann dann positiv werden. Also die Funktion, die du Stammfunktion nennst, wird doch nie negativ!!?? Aber für ist deine Stammfunktion fallend, es geht nach "unten" und das wird durch eine negative Steigung ausgedrückt. Und wie der "Zufall" es so will, ist die Ableitungsfunktion die ja für jede Stelle die Steigung von liefert, für negativ. Beachte ferner, dass die Funktionswerte von also von deiner Parabel, keinen Einfluss auf die Ableitungsfunktion haben. Wenn du die rote Parabel zur Gänze um ein paar Einheiten rauf oder runter schiebst, ändert das nichts an den Steigungen und somit bleibt deine blaue Ableitungskurve unverändert. Anders gesagt: Die Funktionen haben alle die gleiche Ableitungsfunktion . Ganz ist mir noch immer nicht klar, worin dein Problem besteht und was genau dich so irritiert. Vielleicht bringt die beigefügte Zeichnung ein wenig Licht ins Dunkel. @supporter: Unter der Stammfunktion versteht man die Funktion, deren 1. Ableitung die Ausgangsfkt. ergibt. Und daher kann man mit Fug und Recht eine Stammfunktion von nennen, auch wenn du Recht hast, dass der Begriff in diesem Zusammenhang unüblich und daher ein wenig verwirrend ist. Beachte die Buchstaben! Na die sind doch wirklich völlig egal. Wenn Hansi die Ableitung von Franzi ist, dann darfst du Franzi eine Stammfunktion von Hansi nennen.  |
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@Roman; Denk an die Schule: Dort nimmt man Großbuchstaben bei Stammfunktionen. Schüler sind Gewohnheitstiere, die schnell verwirrt sind, wenn plötzlich eine Stammfunktion bezeichnet. Was sich eingebürgert und bewährt hat, sollte man nicht einfach abschieben. Dass du natürlich Recht hast, sei damit unbestritten. :-) |
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Ich denke, dass diese Verwirrungen genau deswegen entstehen, weil die Begriffe und Zusammenhänge nicht wirklich verstanden wurden und man sich lieber an Äußerlichkeiten wie eben "übliche" Bezeichnungen klammert. In der Einstiegsphase mögen solche Normbezeichnungen noch Sinn machen, sollten aber bald obsolet werden. Es ist traurig zu sehen, wie viele Absolventen dir größten Probleme haben, wenn die Variablen mal nicht und (und auch nicht und heißen. Viel sinnvoller wäre es doch, die Bezeichnungen wild zu mischen und damit den Blick auf das Wesentliche frei zu machen. |
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Vielen Dank Roman-22!!! Jetzt habe ich den Sinn der Ableitung verstanden! :-) "Der WERT der Ableitung an einer Stelle gibt die STEIGUNG der Funktion (genauer: des Graphen der Funktion) an dieser Stelle an." - Danke! Was mich bezüglich der beiden Graphen (Ausgang und Ableitung) verwirrt hatte, war der Fakt dass mir gesagt wurde, dass die Ableitung die Steigung der Ausgangsfunktion angibt. Somit (bitte beachten, dass ich es ohne Erklärung von jemandem gelernt hatte) dachte ich, dass beide Graphen bei jedem X-Wert die gleiche Steigung haben müssten - Dem war aber nicht der Fall. Deswegen die Verwirrung. Nun dass ich weiß, dass mir die Ableitungsfunktion jediglich die Steigung der Tangente gibt, wird mir auch deutlich klarer, warum die beiden Graphen nicht die gleiche Steigung aufwiesen. So dumm manche Fragen im Nachhinein aussehen, ich konnte es schlecht wissen, da ich nie jemanden hatte, der mir bei Fragen helfen konnte - Bis jetzt. Zwei Fragen hätte ich aber noch: 1. Wie helfen weitere Ableitungen beim analysieren der Ausgangsfunktion? Was bekomme ich mir ihnen mehr herraus? 2. Wozu genau dient jetzt der Differenzialquotient, wenn die Ableitung mir schon die genaue Steigung der Tangente an einer gewissen X-Stelle gibt? Mit freundlichen Grüßen Julian22 |
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anonymous 18:14 Uhr, 04.08.2017 |
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Hallo Beispiele aus der Physik: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Somit ist die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. Beispiele aus der Geometrie: Die zweite Ableitung ist wesentlicher Bestandteil der Krümmung einer Funktion. Die zweite Ableitung ist Null in Wendepunkten der Funktion. Wie gesagt, du bist noch am Anfang. Schön, dass du so weitblickend hinterfragst und dich reinkämpfst. Bleib dran und vertrau darauf, eine erfahrene Vielzahl an alten Hasen haben schon nahezu unendliche Anwendungen und Nutzen der Differenzialrechnung entdeckt und großen Nutzen draus gezogen. Wir werden dir deine Fragen aber nicht in Minuten umfassend erklären können. Du wirst sehen, wenn du dich weiter mit den Dingen befasst, dann wirst auch du lernen, die Dinge um die Differenzialrechnung schätzen, lieben und nutzen zu können. Es ist noch kein Meister vom Himmel gefallen. Es wäre keine Mondfähre auf dem Mond gelandet, wenn nicht jemand angefangen hätte, die Differenzialrechnung zu lernen, zu verinnerlichen, zu vertiefen, zu studieren, zu festigen und für sich zu nutzen. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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