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Trigonometrische Funktionen - Nullstellen?
Schüler Realschule, 9. Klassenstufe
Tags: Nullstellen, Trigonometrische Funktionen
 
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Hallo, ich soll von der folgenden Funktion zwei Nullstellen berechnen (ohne GTR). Ich weiß, dass man Nullstellen immer durch 0 setzen berechnet. Bezüglich meines weiteren Vorgehens bin ich mir leider alles andere als sicher. Hier würde ich mich, falls mein Rechenweg falsch ist sehr über eine Erklärung freuen! ∙ In der Formel Sammlung schaue ich nun bei welchen Werten Sin 0 ist... Laut Formelsammlung bei 0 und bei Also setze ich das jeweils gleich: ∙ ∙ Habe ich das korrekt gerechnet bzw. auch alles sauber und korrekt aufgeschrieben? Beachtet man beim berechnen der Nullstelle immer nur das in der Klammer mit dem "x"? Wieso kann man die Verschiebung auf der X-Achse etc. einfach ignorieren? Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Nullstellen Nullstellen bestimmen Polynomdivision Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Nullstellen Nullstellen bestimmen |
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Weitere Nullstellen gibt es bei bei bei (Deshalb musst du in der Definitionsmenge überprüfen, für welches Intervall du deine Lösung liefern sollst) http//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/600px-Sine_cosine_one_period.svg.png Du betrachtest nur den Teil eines Terms, der für eine Nullstelle wichtig ist. Nehmen wir beispielsweise Dann würdest du auch nur betrachten Warum? Bei einem Produkt muss immer mindestens ein Faktor null sein, damit du als Lösung null erhalten kannst: entweder muss sein, oder beide sind null Für deine Funktion mit dem bedeutet dies: oder oder beides Gleichzeitig ist 0. wird aber niemals daher betrachtest du eben nur den zweiten Faktor. So ähnlich ist es nun bei deiner Funktion. wird mit Sinus multipliziert, wird logischerweise niemals null, also brauchst du diesen Faktor nicht. Deine Sinusfunktion muss also 0 geben, damit überhaupt ein Faktor 0 und damit auch deine Gleichung 0 ist. Dazu musst du natürlich wissen, wann dein sinus 0 ergibt. Und das ist aber abhängig wovon du deinen Sinus berechnest. Dies wiederum ist aber von dem abhängig von dem, was in der Klammer steht. Deshalb musst du nur diesen Teil betrachten. Wie du richtig erkannt hast gilt das nur an bestimmten Stellen. Du sprichst nun aber von der Phasenverschiebung bei Sinusfunktionen, die wird aber durch bestimmt und zwar genau dann, wenn dieses unbekannt addiert wird und nicht multipliziert Verschiebung um keine Verschiebung So ist das nun auch mit deinem in der Funktion. Es wird nicht addiert, sondern multipliziert! Damit hast du aber keine Phasenverschiebung, sondern die Periodenlänge wird verändert. (Trotzdem kannst du ja trotzdem die Nullstelle berechnen) Hier findest du die wichtigsten Zusammenfassungen was deine Frage angeht. Kannst das ja mal im Kopf durchspielen, wenn du dein festlegst! Du suchst eben das für den deine Periodenlänge wiederum 0 für deine sinus Funktion bringt http//www.schule-studium.de/Mathe/Sinusfunktion-Amplitude-Periodenlaenge-Phasenverschiebung.html |
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Vielen Dank, für deine Antwort. War sehr hilfreich, hat mich sehr gefreut. Also kurz zusammengefasst. Wenn ich eine Funktion habe und bei dieser Funktion die Nullstellen berechnen will... Dann sind eigentlich nur die Ausdrücke mit einem relevant... Denn alle anderen Zahlen können ja nicht Null werden? Zur Übung rechne ich mal noch die folgende Funktion: 2cos 2cos - 2cos Nun schaue ich wieder in die FS... 1 und Jetzt wieder das gleiche Spiel... Stimmt, oder? |
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Hier hast du einen (Tipp-?)fehler gemacht. Es gilt und . Sonst ok. |
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Wieso habe ich da einen Tippfehler? Habe doch bisher nur die Gleichung bearbeitet bzw. und gerechnet? Vielen Dank ;-) |
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Hier musst du nun überprüfen, wann Cosinus 1 wird. Warum? dies gilt . für oder Warum? und damit gilt: (wahre Aussage) Findest du noch ein weiteres x? Klar warum cosinus sein muss, oder? (sry, hatte nen Ablesefehler drin, ist korrigiert) |
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Hallo, vielen Dank, für die Antwort. Ich habe jetzt den Durchblick verloren. Ich hatte ja folgende Aufgabe bzw. folgenden Rechenweg: Aufgabe (die ersten zwei Nullstellen berechnen) 2cos 2cos - 2cos Nun schaue ich die Formelsammlung für die Werte... Ich sehe dann das bei dies der Fall ist. Also setze ich die beiden Werte jeweils mit der umgeformten Gleichung bzw. dem Klammerinhalt gleich: Ausgerechnet: Erste Nullstelle also bei Zweite Nullstelle also bei Das ist doch korrekt, oder? Was hast du mit " Hier musst du nun überprüfen, wann Cosinus 1 wird. Warum? 1" gemeint? Kann hier leider keinen Bezug zu meiner Aufgabe erkennen? Vielen lieben Dank! |
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Was ist denn der oder der ? Eben, die Cosinus Funktion wird 1 ;-) - genau das hast du doch nun gemacht ;-) Und im Gegensatz zu mir hast du sogar erkannt, das für der cosinus ist und damit meine Lösung falsch ist. Du bist direkt zu gegangen und warst damit besser als ich ;-)! ist somit keine Lösung. Ich streiche das gleich mal raus ;-) |
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Stimmt ;-) Wenn ich das in den TR eingebe, gibt das 1 ;-) Also kann ich so mit überprüfen ob mein Rechenweg stimmt? Oder was sehe ich damit genau? Vielen Dank ;-) |
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Du hast doch deine Gleichung gesetzt und dann umgestellt bzw. aufgelöst Zum Schluß hattest du dort stehen gehabt. Richtig? Genau. Also musst du doch das finden, so dass du . da stehen hast, weil das genau 1 ist und somit dann richtigerweise steht (wahre Aussage) Wenn du aber bei bleiben willst und du hättest damit dein gefunden. Im letzten Falle wars die es wäre aber auch mit gegangen. Du findest noch weitere Lösungen für deshalb musst du immer schauen, für welches Intervall du eine Lösung möchtest. Du siehst aber bereits an beiden Gleichungen, dass anscheinend deine Lösung für die Cosinusfunktion sein muss. Dementsprechend reicht es auch herauszufiltern, wie du es richtig tust und dann eben mit den Stellen gleichzusetzen, bei denen deine cosinusfunktion wird. Also: oder oder Du findest jedes mal das dass dann in deine Cosinusfunktion eingesetzt die Lösung 1 für deine Cosinusfunktion bringt. Ich hoffe es ist alles verständlich ;-) Mein Fehler weiter oben ist nun korrigiert ;-) (ach schön, dass man hier gleich mitlernt :-D) ) |
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Und jetzt nochmal kurz: - du löst auf und hast dort eine Bedingung stehen gehabt. - du schaust dir deine Cosinusfunktion oder Sinusfunktion an und überlegst, wenn die Bedingung erfüllt ist Bei der Cosinusfunktion war sie erfüllt, wenn die Cosinusfunktion 1 ergibt! (wegen der Differenz, wenn da gleich 0 steht, oder eben direkt zu erkennen, wenn da gleich 1 steht) Bei der Sinusfunktion war sie erfüllt, wenn sie 0 ergibt (wegen dem Produkt) Denk dir die Sinusfunktion als a und du würdest auch sofort erkennen, wann die Gleichung erfüllt ist! |
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Vielen Dank, dass war eine klasse Erklärung. So hätte das meine Lehrerin auch mal erklären müssen ;-) Zur Sicherheit würde ich noch gerne eine Aufgabe hier vorrechnen... Die Funktion lautet: 0.5sin(x) Dazu steht noch ein gerundetes und Die Aufgabe dazu lautet: Berechnen Sie zwei aufeinander folgende Nullstellen ungerundet. Fange ich mal an... 0.5sin(x) 0.5sin(x) 0.5sin(x) 0.5sin(x) In der Formelsammlung nachgeschaut: Also lautet die erste Nullstelle: ? |
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Ein gerundetes ? Ist mir gerade unbekannt, meinst du (das schreibt man "\el" - Wenn du mal diiiiirekt hier übers Eingabefeld schaust, dann steht dort ganz links "Wie schreibt man Formeln" - gucks dir mal an ;-) ) Nein. Du hast doch bereits deine Gleichung für die Nullstelle aufgestellt. Du hast geschrieben, was bedeutet, dass dein ist! Ok. Super. Jetzt fehlt dir doch nur noch das . Wäre da kein Sinus würdest du doch auch nur dein suchen und nicht nochmal eine Gleichung mit Null aufstellen, oder? (diesen Trick nutzt man eben bei den Produkten) Cosinus hat an dieser Stelle auch nichts zu suchen. Nachdem du die Gleichung aufgelöst hast steht dort doch: Also? Was ist das gesuchte x? Wann ist ? (es sei denn Cosinus und Sinus würden sich dort schneiden, dann könnte man das mit Cosinus ersetzen, macht aber keinen Sinn) Du musst dich nicht an die 0 fesseln. Das hast du als erstes ja in die Gleichung geschrieben. Du hast geschrieben, dass ist, das ist deine Nullstelle. Du suchst nur noch das . Du schreibst nicht nochmal Wichtiger Hinweis: Oben steht das ist deine Definitionsmenge. Das meinte ich vorhin mit Definition! Was sagt es dir? Du suchst nur Lösungen für die in diesem Intervall liegen, weil du, wie ich angedeutet habe, viiiiiieeeeleeee Lösungen bekommen würdest. Ich behaupte mal unendlich viele, da die Sinusfunktion ja immer weiter ihre Kurven dreht ;-)! Jetzt guckst du nur noch wann ist Sollte das oben genannte wirklich deine Definitionsmenge sein, dann wäre der Sinus zwischen und sowie zwischen und und dann noch zwischen -1/4pi und Aber ich gebe zu, ich bin überfragt. Nutze ich vom Taschenrechner die Umkehrfunktion dann erhalte ich irgendwie nur |
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Lösungen würdest du aber hier finden: http//de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Wichtige_Funktionswerte Oder gibt dir dein Formelbuch eine Lösung vor? |
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Also da steht Nun haben wir ja Blöderweise steht für diesen Wert in der Formelsammlung kein Wert... Also müsste ich da in der Arbeit auch irgendwie ohne FS auskommen... Wie kann man denn sonst auf den Wert kommen. In der FS steht nur ein Wert für Danke, für deine tolle Hilfe ;-) |
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Welcher wert steht dort für ? Und bevor du mir die Frage beantwortest, beantworte sie dir selbst, schaffst du schon ;-) Erkennst du eine Symmetrie bei der Sinuskurve? Und wiederholt sich etwas für das betreffende Intervall (also in diesem Bereich?) Wenn du den Wert für kennst, dann sollten eigentlich Rückschlüsse möglich sein! . Wegen dir bin ich klitschnass und musste kalte Würstchen und Burger essen :-D) (bzw. wir mussten kalt essen und ich bin nass :-D)) - die ganze Zeit hat beim Grillen gefehlt und das Gewitter hat mich überrumpelt ;-)! Hoffe dir tuts leid! |
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Hallo Christian, das tut mir wirklich leid... Und das schlimme ist, dass noch noch nicht mal auf den Wert gekommen bin... Hoffe das Essen hat trotzdem geschmeckt? Vielen Dank, für deine Hilfe! |
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Schon ok, gab ne Menge Situationskomik für uns ;-)! Ja schau doch mal. Du kennst laut Buch Sinus(x) . Fällt dir an deiner Sinuskurve nichts auf, wie du . auf für den ersten negativen x-Wert kommst? |
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Also beim wäre es ja ganz einfach. Da könnte ich einfach das Vorzeichen ändern (aufgrund der Achsenymetrie). Die sin Funtkion ist aber Punksym. zum Ursprung und daher fehlt mir da die Idee. Eine Idee hätte ich eve. Wenn die erste positive Nullstelle bei ist... Dann kann ich ja einfach der Periodenlänge rechnen und komme zur ersten Nullstelle im negativen Bereich. Rechne ich also - eine ganze Periodenlänge dann komme ich zur zweiten Nullstelle im negativen Bereich. Wenn meine Theorie stimmt, dann wäre die erste negative Nullstelle bei: Die zweite negative Nullstelle wäre dann bei: Korrekt? Dankeschön, für deine freundliche und kompetente Hilfe ;-) |
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Punktsymmetrie bedeutet ja: also setzt du den negativen x-Wert ein, dann würdest du ja rausbekommen Du kennst ja jetzt den Wert für wenn du rausbekommen möchtest. Somit weißt du auch, was passiert, wenn du den gleichen x-Wert nimmst aber als negativen Wert, also Wie gesagt, ich arbeite mich jetzt mit dir hier durch (daher war sie nur teilweise kompetent - ab jetzt lerne ich mit dir) Schön wäre, wenn sich jemand einmischt, der den direkten Weg kennt ;-)! Jetzt gib mir bitte den x-Wert aus deinem Buch, für den Sin(x) gilt ;-) |
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War denn mein Ansatz falsch? Meine Lehrerin hat das ganz anders gemacht... Die hat . für die erste Nullstelle folgendes gerechnet: Versuche schon seit einer Stunden diesen Weg nachzuvollziehen, aber es klappt einfach nicht... Für die zweite Nullstelle hat sie dann 2pi gerechnet... |
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Also ich bin jetzt erstmal ein wenig weiter. sin(30°) Rechne ich die 30° ins Bogenmaß um, dann wären das Wobei du für setzt. und in Grad (habe ich weggelassen, damit der Bruch deutlich wird) Damit hättest du also dein Wert für Du willst aber haben! Und nicht So, schau dir die Sinusfunktion mal an: Wenn du bei der 0 starten würdest, dann kommst du zu Sie wollte aber haben Dafür muß sie eben bei starten und dann wiederum Schritte nach rechts gehen, dann erreicht sie die Das kann sie machen, weil alles so schön gleichmässig verläuft. Vergleiche das, was du in der Rechnung stehen hast immer schön mit diesem Bild: http//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/600px-Sine_cosine_one_period.svg.png |
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Und jetzt guck dir 1. Deine Definitionsmenge an Findest du nun ein aus diesem Intervall, dass für deine Sinusfunktion noch eine Lösung liefert? 2. Schau dir dafür die Sinukurve nochmal an. Stelle gleiche Überlegungen wie hier vor an! |
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Und dann siehst du auch, dass meine Argumentation ebenfalls gegriffen hat mit der Punktsymmetrie! Und wenn diese Argumentation greift, dann hättest du die Periodenlänge immer nur hinzu addieren müssen und hättest immer wieder dein erhalten. Du erkennst dann, warum gilt. Aber Achtung: Die Argumentation ist nur die Hälfte. Guck dir die Sinusfunktion nochmal an. Neben einen Tiefpunkt hast du links und rechts Auf diese Weise erhalten wir immer nur rechts von deinem Tiefpunkt. Also erhälst du nur die Hälfte der Lösungen. Die andere Hälfte erhälst du eben wenn du rechnest und dann immer wieder die Periodenlänge addierst. Schön das ganze ;-) - ich hoffe ich habe dir damit geholfen und bin glücklich selber etwas gelernt zu haben :-D)! Frag bitte wenn was ist, jetzt verstehe ich das auch alles besser :-D) |
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. immer wieder addieren natürlich nur, so lange es Sinn macht. Sinn macht es nur dann, so lange deine Lösung für im Intervall liegt. Es gilt ja Daher auch immer auf dein Intervall achten, ich kann mich nur wiederholen ;-) |
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Kommst du mit? Wenn nicht, dann sag an welcher Stelle es aussetzt. Wir nutzen: - die schöne Symmetrie, die Harmonie, das gleichmäßige an der Sinuskurve. Das musst du bei jeder Aussage, die hier getroffen wird berücksichtigen. Du kannst dir . den Tiefpunkt als Mittelpunkt der unteren Welle vorstellen. Und dementsprechen muss ein Schritt nach links genauso weit weg sein wie ein Schritt nach rechts. Den Weg vom Tiefpunkt weg kennen wir nicht. Wir kennen dafür den Weg von solch einer Nullstelle weg: Damit erhalten wir unser Aber weil alles so symmetrisch ist, ist es egal, ob wir nach rechts oder links gehen. Der Weg ist der gleiche! Wie gesagt, alles so schön gleichmässig ;-) |
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Hallo Christian, vielen lieben Dank. Ich habe aktuell nur noch ein Denkfehler. Ich habe die Funktion mit Geobra gezeichnet. Das hilft mir immer beim verstehen. Ich weiß ja, dass ohne Verschiebung um Längeneinheiten nach oben auf der Y-Achse die erste Nullstelle bei und dann bei kommen müsste... Nun gibt es aber eine Verschiebung um Längeneinheiten nach oben auf der Y-Achse. So mit ändert sich auch die erste Nullstelle. Ich weiß ja auch, dass die Sinus-Funktion ohne Verschiebung in Y-Richtung durch gehen würde. Also muss ich doch nur die Verschiebung um bzw. rausbekommen... Der Rest ist mir dann wieder logisch.... Aber wie man am einfachsten auf diese blöde bzw. kommt nicht...  |
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Als du deine Gleichung aufgestellt hast, um die Nullstellen zu berechnen. Welche Überlegung hast du aufgestellt? Eine Nullstelle ist doch, wenn dein y-Wert die 0 annimmt und zwar für die GANZE Funktion. Das hast du ja dann auch getan: Das gilt doch aber jetzt genau für DIESE Funktion, dass die Nullstelle gesucht wird. Da sind all deine Streckungen und Verschiebungen mit drin. Also brauchst du dir um diese keine Gedanken mehr machen. Du hast mit dieser Gleichung gesagt: und damit die Nullstelle, ich sage mal "definiert"! Jetzt musst du sie nur noch bestimmen. Du willst also wissen, für welches diese Gleichung erfüllt ist. Jetzt löst du nähmlich auf. Ich wiederhole: Du bestimmst nicht die Nullstelle deines sondern deiner GANZEN Gleichung. Was du nur noch machst ist das zu finden, für das deine Gleichung gilt. Die Gleichung gilt genau dann, wenn ist. Du darfst das gerne in deine Ausgangsgleichung dann einsetzen (also Grad) und du siehst: Deine Gleichung ergibt 0. Damit hast du also die Nullstelle der Funktion berechnet. Nicht von deinem Sinus. Verstanden? Oder soll ichs mal ohne Sinus erklären? |
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Vielen vielen lieben Dank. Nun habe ich es verstanden... Puhhhhhh ;-) Hast mir echt toll geholfen!!!! Liebe Grüße ;-) |
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Gut, freut mich ;-) - dann schließ mal das Thema und bewerte :-P) |
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Ich hatte noch nen dicken Fehler in der Erklärung Bei der Berechnung des Bogenmass ist wegen dem Radius des einheitskreises. Du rechnest noch 2 mal , weil der Umfang eines Kreises ist. Damit ist nicht das Ergebnis ist aber richtig |
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Besten Dank, eine perfekte Bewertung hast du natürlich ;-) |
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