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Zweite Ableitung über h-Methode mit Taylor-Polynom

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert, Stetigkeit

BlizzPhy aktiv_icon

16:17 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

ich habe die folgende Aufgabe:

Es ist zu zeigen, dass wenn von

f : R \to R

die 2.Ableitung (also f"(a)) existiert, gilt:

f"(a)= Lim

(h \to 0) \frac{f (a + h) - 2 f (a) + f (a - h)}{h^{2}}

Ich habe daraufhun zweimal L´Hopital angewendet, sodass ich auf die 2.Ableitung kam. Nun steht bei der Aufgabe folgender Hinweis:

"Eine im Punkt a n-mal differenzierbare Funktion

f

hat die Eigenschaft

lim (h \to 0) \frac{f (a + h) + P^{n} (a + h)}{h^{n}}

wobei

P^{n}

das n-te Taylor-Polynom von

f

mit Entwicklungspunkt a ist."

Ich soll also das n-te Taylor-Polynom mit Entwicklungspunkt a verwenden, mein Ansatz wäre nun

P^{n}

mit

n = 2

einzusetzen und das ganze in die richtige Form zu "massieren".

Nur kommt da nicht das raus was gefragt ist...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
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pwmeyer aktiv_icon

16:51 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

der Ansatz ist richtig.

Um Dein Problem zu überprüfen müsstest Du mal die angegebene Eigenschaft richtig hinschreiben (was da steht ist allenfalls ein Term und keine Aussage) und ebenfalls das von Dir benutzte

P^{2}

hier hinschreiben.

Gruß pwm

BlizzPhy aktiv_icon

17:13 Uhr, 23.01.2018

Ja da hab ich was vergessen. Der Grenzwert soll gleich Null sein für

h \to 0

bei der Eigenschaft.

Mein

P^{2}

eingesetzt in die Eigenschaft sieht so aus:

lim (h \to 0) \frac{f (a + h) - (f (a) + f^{1} (a) \cdot (x - a) + (\frac{f^{2} (a)}{2}) \cdot {(x - a)}^{2}) (a + h)}{h^{2}}

Wobei

f^{2}

die zweite und

f^{1}

die erste Ableitung meint.

pwmeyer aktiv_icon

17:32 Uhr, 23.01.2018

Du hast da Eure Schreibweise für Taylor-Polynome falsch verstanden.

Es ist

P^{2} (x) = f (a) + f' (a) \cdot (x - a) + \frac{1}{2} \cdot f'' (a) \cdot {(x - a)}^{2}

und dann

P^{2} (a + h) = f (a) + f' (a) \cdot h + \frac{1}{2} \cdot f'' (a) \cdot h^{2}

Gruß pwm

BlizzPhy aktiv_icon

13:36 Uhr, 25.01.2018

Entschuldige bitte die Funkstille, mir war was dazwischengekommen...

Mein Taylor-Polynom sah so aus:

p^{2} (x) = f (a) + f' (a) (x - a) + \frac{f'' (a)}{2} {(x - a)}^{2}

Es ist doch egal ob ich

\frac{1}{2} f'' (a)

schreibe oder

\frac{f'' (a)}{2}

denke ich mal?

p^{2} (a + h)

hatte ich auch schon in etwa so da stehen, nur wie soll ich da weiter machen?

Danke schonmal...

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 25.01.2018

Ersetze

f (a + h)

durch

P^{2} (a + h)

und

f (a - h)

entsprechend durch

P^{2} (a - h)

und alles löst sich in Wohlgefallen auf.

Gruß pwm

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