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natürliche Exponentialfunktionen/ Aufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, natürliche Exponentialfunktion

tuerke1927 aktiv_icon

16:47 Uhr, 02.12.2010

Hey ihr,

hier einmal die Aufgabe! Wär toll , wenn wir einer von euch helfen könnte!

Nach eröffnung einer neuen Attraktion werden die erwarteten täglichen Besucherzahlen einer Vergnügungsparkes modellhaft durch

f

mit

f (x) = 100 (x - 10) e^{- 0} . 05 x + 10000

(

x

Anzahl der Tage nach Eröffnung der Attraktion) berechnet.

a)

Beschreiben sie den Verlauf der Besucherzahlen und interpretieren sie ihn

b)

Nach wie vielen Tagen rechnet man mit der höchsten Besucherzahl? Wie hoch ist sie?

c)

Beweisen sie, dass die tägliche Besucherzahl, nachdem sie ihr Maximum erreicht hat , dauerhaft abnimmt.

d)

Wann nimmt die tägliche Besucherzahl am störksten ab, wann nimmt sie am stärksten zu?

e)

Die Attraktion rentier sich, wenn die tägliche Besucherzahl über

10000

ist . WIe lang ist die Zeitspanne

,

in der das der Fall ist ?

Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen!! Habe wirklich keine Ahnung, wie man das macht!

Vielen Dank schon einmal!
Sascha

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Shipwater aktiv_icon

17:47 Uhr, 02.12.2010

Hallo,

meinst du

f (x) = 100 (x - 10) e^{- 0,05 x + 10000}

oder

f (x) = 100 (x - 10) e^{- 0,05 x} + 10000

oder was?

Gruß Shipwater

tuerke1927 aktiv_icon

21:29 Uhr, 02.12.2010

Hey tschuldigung.. ich meinte letztere Variante ..

Shipwater aktiv_icon

21:50 Uhr, 02.12.2010

Hier mal der Funktionsgraph:

tuerke1927 aktiv_icon

21:53 Uhr, 02.12.2010

dankeschön.. aber was sagt mir das? Hast du vielleicht einen Lösungsanstaz für mich für die Aufgabe?

tuerke1927 aktiv_icon

22:23 Uhr, 02.12.2010

hiiilfe :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

04:05 Uhr, 03.12.2010

Dein Problem kam glaube ich daher, dass Dir die Ableitung von

f (x)

Probleme breitet.

f (x) = 100 (x - 10) \cdot e^{- 0,05 x} + 10000

damit es in wenig einfacher aussieht und die Produktregel nicht veschachtelt werden muss, ziehe die

100

in die Klammer rein:

f (x) = (100 x - 1000) \cdot e^{- 0,05 x} + 10000

nun gilt
wenn

f (x) = u (x) \cdot v (x)

dann

f' (x) = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)

u (x) = 100 x - 1000

v (x) = e^{- 0,05 x}

u' (x) = 100

v' (x) =

?

NEBENRECHNUNG: Ableitung dieser e-Funktion: Kettenregel

f (x) = e^{- 0,05 x}

f' (x) = u' (v (x)) \cdot v' (x)

u (z) = e^{z} (z = - 0,05 x)

u' (z) = e^{z}

(Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion
da

z = - 0,05 x

ist

u' (z) = e^{- 0,05 x}

v (x) = - 0,05 x

v' (x) = - 0,05

Also ist

f' (x) = e^{- 0,05 x} \cdot (- 0,05)

ENDE NEBENRECHNUNG

das

v' (x)

von oben ist somit:

- 0,05 e^{- 0,05 x}

Und damit ist die Ableitung der Funktion aus der Aufgabe:

f' (x) = 100 \cdot e^{- 0,05 x} + (100 x - 1000) \cdot (- 0,05 e^{- 0,05 x})

Das konstate Glied von

+ 10000

wird ja bei der Ableitung Null
Durch Ausklammern von

e^{- 0,05 x}

und Zusammenfassen kommt man schliessich zu:

f' (x) = e^{- 0,05 x} \cdot (150 - 5 x)

Genauso funktioniert dann die zweite Ableitung. Sie lautet:

f'' (x) = e^{- 0,05 x} \cdot (\frac{1}{4} x - \frac{25}{2})

So, jetzt müsstest Du die Aufgaben

a - e

lösen können.

DmitriJakov aktiv_icon

04:17 Uhr, 03.12.2010

Noch ein Hinweis:

e^{x}

wird niemals negativ und niemals Null für alle

x \in] - \infty; + \infty [

und

e^{0} = 1

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