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schwere Trigonometrie: Formel nach alpha auflösen

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Funktionalanalysis

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Tags: Additionstheoreme, Analysis, Auflösen, Kosinus, Sinus, Tangens, Trigonometrie

valiepalie aktiv_icon

15:38 Uhr, 13.08.2008

Hi!
ich kämpfe gegen eine funktion und scheine zu verlieren, da meine Waffen stumpf und meine Kameraden im Kampf gefallen sind. Daher suche ich eine neue armee:

das schlachtfeld sieht folgendermaßen aus:

Funktion:

β =

arctan

[

(

x \cdot b \cdot sin (α))

(c - b \cdot cos (α)) - y] + z

α

und

β

sind winkel
folgende bedingungen noch am Rand:

- 1 < x < 1

0 < β <

90°

- 90 < α <

90°

das " nach dem Geteilt / ist nur da, da sonst eine klammer verschwindet in meinem editor.
Frage:
lässt sich diese Funktion nach

α

auflösen? Wie lautet das ergebnis?
die Parameter

x, y, z

sind etwas komplizierter als hier dargestellt beinhalten jedoch kein

α .

Ihr würdet mir unglaublich weiterhelfen. mit Additionstheoremen und den richtigen ideen müsste das zu lösen sein?!

helft mir, evtl klappts gemeinsam.

Vielleicht könnte als erster einer die Funktion im Formleeditor darstellen bei mir klappt das hier am rechner gerade nicht.
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Additionstheoreme
Wichtige trigonometrische Werte
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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JensW aktiv_icon

22:44 Uhr, 13.08.2008

In der formel die du mir geschickt hast war der untere cos ein sin was die Sache natuerlich viel einfacher macht
Ich beginne den Quell deiner Probleme zu begreifen Ja das kann man mit den Richtigen Additionstheoremen immer noch nach

α

aufloesen Aber das wird ein grausames Gemetzel
Also gut viel Feind viel Ehr.

β= arctan[( x⋅b⋅sin(α)) /" (c-b⋅cos(α))-y]+z

a r t a n (β - z) ((c - b \cdot c o s (α)) - y) = x \cdot b \cdot s i n (α)

Also es wird zeit fuer eine Abkuerzung oder wir werden schmaechlich zugrunde gehen

Mit

K_{1} = a r t a n (β - z) b

K_{2} = x \cdot b

K_{3} = a r t a n (β - z) c

gilt

K_{1} c o s (α) + K_{2} s i n (α) = K_{3}

Das kann man zusammen fassen zu

R s i n (α + φ)

Additionstheorem

R s i n (α) c o s (φ) + R c o s (α) s i n (p h i) = K_{1} c o s (α) + K_{2} s i n (α)

Das gibt zwei gleichungen mit zwei Unbekannten
(ich benutze dafuer lineare Unabhaenigkeit von sin und cos falls es interessiert)

R c o s (φ) = K_{2}

und

R s i n (φ) = K_{1}

Auf uebliche Weise

R = W u r z e l (K_{1}^{2} + K_{2}^{2})

(quadriertes Addieren)
Phi bekommt man als

t a n (φ) = K_{1} / K_{2}

Teilen der beiden Gleichungen

Dadurch erhaelt man

R s i n (α + φ) = K_{3}

Folglich ist

α = a r c s i n (K_{3} / R) + P h i

also

α = a r c s i n (K_{3} / (K_{1}^{2} + K_{2}^{2})^{1 / 2})) + a r c t a n (K_{1} / K_{2})

Na das einsetzen von

K_{1} K_{2} K_{3}

Ueberlasse ich an dieser Stelle lieber dir
Fuer Richtigkeit der Rechnung uebrnehme ich keine Garantie aber die allgemeine Strategie sollte deutlich geworden sein.

valiepalie aktiv_icon

10:42 Uhr, 14.08.2008

Danke

Ich hab blöderweise die Frage zweimal gestellt weil ich nicht wusste dass es eh angekommen ist. (ist ja alles neu für mich hier)

Ich mach dann mal nur in diesem Beitrag weiter

Hier ist die ANtwort von MBler07
Hi

von mir dann mal ein Ansatz:

β= arc tan(b⋅x⋅sin(α)c-b⋅cos(α)+y)+z

tan(β-z)=b⋅x⋅sin(α)c-b⋅cos(α)+y
(tan(β-z)-y)⋅(c-b⋅cos(α))=b⋅x⋅sin(α)

tan(β-z)⋅c-tan(β-z)⋅b⋅cos(α)-y⋅c+y⋅b⋅cos(α)=b⋅x⋅sin(α)

tan(β-z)⋅c-y⋅c=b⋅x⋅sin(α)+tan(β-z)⋅b⋅cos(α)-y⋅b⋅cos(α)

tan(β-z)⋅c-y⋅c=b⋅x⋅sin(α)+cos(α)⋅(tan(β-z)⋅b-y⋅b)

tan(β-z)⋅c-y⋅cb⋅x=sin(α)+tan(β-z)-yx⋅cos(α)

Weiter weiß ich aber auch nicht.

Dafür hab ich das ganze mal in derive eingegeben und die Lösung als Bild angehängt. Ob dir das was bringt halte ich allerdings für sehr fraglich...

Grüße

valiepalie aktiv_icon

12:20 Uhr, 14.08.2008

Hey!
So macht man das Platt!
Macht es was, dass wir den Verlust des

y

zu melden haben,
oder kann man einfach so abkürzen und alles wie gehabt:

K 1 = (tan (β - z) - y) \cdot b

K 2 = x \cdot b

K 3 = (tan (β - z) - y) \cdot c

Das weitere probier ich aus! da sind wilde dinger drin,...
(ach ja mit artan ist der einfache tangens gemeint?)

der gegner ist beeindruckt und zittert! ich kanns spüren,...

ich hab noch ein pdf angehängt mit der Formel in "schön", damits unmissverständlich ist (oder wird das eh wenn man den Formeleditor installiert hat?)
Grüße

JensW aktiv_icon

13:41 Uhr, 14.08.2008

Das z aendert natuerlich nichts an der strategie
Beim aufloesen nach Alpha kann man alles andere als Konstanten betrachten.
Daher habe ich das z einfach vergessen fuer die Rechung macht es keinen Unterschied fuer das ergebnis natuerlich schon

valiepalie aktiv_icon

19:53 Uhr, 14.08.2008

Der Feind ist besiegt!

Danke lieber Jens und allen anderen

Danke für diese elegante Waffengewalt

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