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2.Ableitung einer verketteten Funktion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

2. Ableitung

Tags: Ableitung, Differantialrechnung, Verkettung von Funktionen

Anna1 aktiv_icon

21:27 Uhr, 25.07.2010

Hey,

Ich suche eine allgemein gültige Formel für die 2. Ableitung (bzw. höhere Ableitungen) einer verketteten Funktion. Als Beispiel habe ich diese Funktion:

f (x) = (1 + x \land 2) \land 10

. Gesucht ist die zweite Ableitung, also

f''' (x)

Liebe Grüße,

A ℕ N A

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mat160687 aktiv_icon

21:35 Uhr, 25.07.2010

willst du praktisch gleich die zweite haben ohne davor die erste machen zu müssen oder wie meinst du des?

Anna1 aktiv_icon

21:47 Uhr, 25.07.2010

Nee, also die erste Ableitung ist doch

180 x \cdot (1 + x \land 2) \land 8

oder?? und dann weiß ich irgendwie nicht weiter...

Anna1 aktiv_icon

21:57 Uhr, 25.07.2010

Sorry, ich hab irgendwie schon einen Schritt weitergedacht xD Ich meinte: 1. Ableitung=

20 x (x \land 2 + 1) \land 9

. Aber wie geht es jetzt weiter?

mat160687 aktiv_icon

21:59 Uhr, 25.07.2010

f (x) = {(1 + x^{2})}^{10}

f

(x) = 10 \cdot {(1 + x^{2})}^{9} \cdot 2 x

f

(x) = 20 x \cdot {(1 + x^{2})}^{9}

so wäre meine Erste
du kennst doch die Kettenregel zum ableiten

mat160687 aktiv_icon

22:03 Uhr, 25.07.2010

jetzt brauchst hald Produkt und Kettenregel

f

´´(x)=

20 \cdot {(1 + x^{2})}^{9} + 20 x \cdot 9 \cdot {(1 + x^{2})}^{8} \cdot 2 x

musst hald noch vereinfachen

Shipwater aktiv_icon

22:16 Uhr, 25.07.2010

Übrigens:

x^{2}

schreibst du, indem du bei "x^2" die Anführungsstriche weglässt.

Anna1 aktiv_icon

22:19 Uhr, 25.07.2010

Ok vielen dank für die antwort :-)

Shipwater aktiv_icon

22:26 Uhr, 25.07.2010

Zur Aufgabe:

f (x) = {(1 + x^{2})}^{10}

f' (x) = 10 \cdot {(1 + x^{2})}^{9} \cdot 2 x = 20 x \cdot {(1 + x^{2})}^{9}

f'' (x) = 20 \cdot ({(1 + x^{2})}^{9} + 9 \cdot {(1 + x^{2})}^{8} \cdot 2 x \cdot x) = 20 \cdot {(1 + x^{2})}^{8} \cdot (1 + x^{2} + 18 x^{2}) = 20 \cdot {(1 + x^{2})}^{8} \cdot (1 + 19 x^{2})

Wenn du mit der Ketten- oder Produktregel nichts anfangen kannst, wäre eine Alternative zuerst (am besten mithilfe des pascalschen Dreiecks) auszumultiplizieren.

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