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Ableitung nte Wurzel von x

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung

anonymous

22:01 Uhr, 23.07.2011

Hi,

hier die Lösung Bild1.

Ich frage mich wie man die das x uns seine Potenz unter dem Strich bekommen hat. Denn da ist kein negatives Vorzeichen

Ich habe das so gemacht. Siehe Bild2.

Wie bekomme ich die Wurzel unter dem Bruchstrich??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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Shipwater aktiv_icon

22:06 Uhr, 23.07.2011

\frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1 - n}{n}} = \frac{1}{n} \cdot x^{- \frac{n - 1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n - 1}{n}}} = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n - 1}}}

DmitriJakov aktiv_icon

22:09 Uhr, 23.07.2011

f (x) = x^{\frac{1}{n}}

f' (x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - \frac{n}{n}} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1 - n}{n}} = \frac{1}{n} \cdot x^{- (\frac{n - 1}{n})} = \frac{1}{n \cdot x^{\frac{n - 1}{n}}}

rundblick aktiv_icon

22:58 Uhr, 23.07.2011

also:

f' (x) = \frac{1}{n \cdot x} \cdot [

n-te Wurzel (x)

]

nebenbei:
wie schreibt man hier n-te Wurzel

(x)

schöner?

Shipwater aktiv_icon

23:09 Uhr, 23.07.2011

\root(n)(x) wird im Text-Modus zu

\sqrt[n]{x}

Siehe auch: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

rundblick aktiv_icon

23:15 Uhr, 23.07.2011

danke, Shipwater

also:

f (x) = \sqrt[n]{x}

\to

f' (x) = \frac{\sqrt[n]{x}}{n \cdot x}

anonymous

13:51 Uhr, 24.07.2011

Hey Leute danke euch.

Aber nur der Rechenweg reicht mir nicht.

Ich habe mich falsch ausgedrückt.

Wieso macht ihr ein Minus vor dem Bruch und verschiebt es dann nach unten.

Also ist klar mit einem Minus kann er unter dem Bruch.

Aber wie ist die Regel mit dem Minus?

Welche Regel gibt euch das Recht einfach ein Minus zu erfinden? Wo kommt das denn her?

Kann man bei jedem Bruch einfach ein Minus herbeizaubern? Und es dann unter einem Bruch verschieben?

DmitriJakov aktiv_icon

13:57 Uhr, 24.07.2011

Das ist einfach die Rechenregel für Potenzen:

x^{a} = \frac{1}{x^{- a}}

Shipwater aktiv_icon

14:08 Uhr, 24.07.2011

Das wird so definiert. Um von

3^{3}

auf

3^{2}

zu kommen, muss man durch 3 dividieren. Um von

3^{2}

auf

3^{1}

zu kommen, muss man auch durch 3 dividieren. Also sagt man, dass man auch

3^{1}

durch 3 dividieren muss, um zu

3^{0}

zu kommen. Daher

3^{0} = 1

. Und jetzt erhält man

3^{- 1}

eben indem man

3^{0} = 1

durch 3 dividiert

\Rightarrow 3^{- 1} = \frac{1}{3}

Allgemein ergibt sich die Potenzregel

x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}

Gruß Shipwater

DmitriJakov aktiv_icon

14:11 Uhr, 24.07.2011

Super erklärt, shipwater. Das muss ich mir merken :-)

anonymous

14:24 Uhr, 24.07.2011

Auch ich bedanke mich.

So versteht man das wesentlich besser als nur eine Formel zu sehen.

Aber noch mal kurz folgender Einwand.

Wieso reicht meine Lösung nicht aus?

Warum muss ich das unter dem Bruchstrich verfrachten.

Was sollte mich in Alarmbereitschaft bringen, und mich erkenne lassen dass noch der Schritt folgt "alles noch unter dem Bruchstrich"?

Für mich sieht es nur nach einer anderen Schreibweise aus.

Shipwater aktiv_icon

14:27 Uhr, 24.07.2011

Man muss das nicht so schreiben wie in der "Musterlösung". Ich persönlich favorisiere ja die Schreibweise von rundblick, also

f' (x) = \frac{\sqrt[n]{x}}{n \cdot x}

. Ich denke am wichtigsten ist, dass die Ableitung richtig ist. Der Rest ist Kosmetik.

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