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Ableitung, totale Differenzierbarkeit zeigen

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Differentiation

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Komplexe Analysis

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Ableitung, Differentiation, Funktion, Komplexe Analysis, Partielle Differentialgleichungen, totale Differenzierbarkeit

maximal99 aktiv_icon

11:46 Uhr, 14.04.2015

Hallo zusammen!
Folgende Aufgabe:
Sei

C = {(c_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℝ^{n \times m}

eine Matrix und

f : ℝ^{n} \to ℝ

gegeben durch

f (x) = 〈 x, C \cdot x 〉 = \sum_{i, j = 1}^{n} c_{i, j} x_{i} x_{j}, x \in ℝ^{n},

als die zugehörige quadratische Form. Zeigen Sie, dass

f

total differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.

Leider weiß ich weder wie ich die totale Differenzierbarkeit zeigen soll, noch wie ich die Ableitung bestimme. Mich verwirrt das mit dem Skalarprodukt und der Summe, habe solche Funktionen noch nicht differenziert.

Bitte um Hilfe, danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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11:56 Uhr, 14.04.2015

Kennst Du zumindest die Definition?
Eine Funktion

f : R^{n} \to R

zu differenzieren ist nicht ganz dasselbe wie eine "gewöhnliche" Funktion zu differenzieren.

maximal99 aktiv_icon

12:31 Uhr, 14.04.2015

Ja, die ist mir bekannt. Ich differenziere nach einer Variablen, die anderen behandle ich wie Konstanten.

DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 14.04.2015

Das ist nur die partielle Ableitung, nicht die Ableitung im Sinne der totalen Differenzierbarkeit.
Also suche eine richtige Definition. ;-)

maximal99 aktiv_icon

12:46 Uhr, 14.04.2015

Sei

U \subset ℝ^{n}

offen und

f : U \to R^{m}

eine Abbildung. Dann heißt

f

total diff'bar in

x \in U,

falls eine lineare

A

A : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

und eine Umgebung

V \subset U

von

x

gibt, sodass gilt

f (ξ) = f (x) + A \cdot (ξ - x) + σ (ξ - x), ξ \in V,

wobei

σ (ξ - x)

eine Funktion

Ψ = Ψ (ξ) : V \to ℝ^{m}

ist mit

lim_{ξ \to x} \frac{Ψ (ξ)}{| | ξ - x | |} = 0

. In diesem Fall heißt Df(x)

= A

die totale Ableitung von

f

. in

x

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13:49 Uhr, 14.04.2015

Schon besser.
Also, wir suchen eine lineare Abbildung

R^{n} \to R

.
Eine lineare Abbildung ist mit einer Matrix assoziiert, in diesem Fall ist es eine

m \times 1

Matrix, also eigentlich ein Vektor. Und dieser Vektor heißt Gradient, d.h. er besteht aus den partiellen Ableitungen von

f

maximal99 aktiv_icon

15:22 Uhr, 14.04.2015

Bis hierhin ist alles klar.
Was mache ich nun als erstes? Den Gradienten bestimmen? Produktregel?

DrBoogie aktiv_icon

16:21 Uhr, 14.04.2015

"Den Gradienten bestimmen?"

Ja.

"Produktregel?"

Streng genommen ja, aber in Wirklichkeit ist es doch einfach:

\frac{\partial c_{i j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{i}} = c_{i j} x_{j}

\frac{\partial c_{i j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{j}} = c_{i j} x_{i}

und

\frac{\partial c_{i j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{k}} = 0

für

k \neq i, j

. Mehr brauchst Du nicht.

UPDATE. Das oben gilt natürlich nur unter Bedingung

i \neq j

.
Für

i = j

hast Du

\frac{\partial c_{i i} x_{i}^{2}}{\partial x_{i}} = 2 c_{i i} x_{i}

maximal99 aktiv_icon

20:47 Uhr, 14.04.2015

Leuchtet mir soweit auch alles ein. Wir hatten zusätzlich noch aufgeschrieben:

\partial x_{j} f (x) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i, j} x_{i} + \sum_{i = 1}^{n} c_{j, i} x_{i} .

. Wie kommt man darauf?

DrBoogie aktiv_icon

20:53 Uhr, 14.04.2015

"Wie kommt man darauf?"

Weißt Du nicht, wie man eine Summe differenziert?

maximal99 aktiv_icon

21:25 Uhr, 14.04.2015

Irgendwie nicht...

DrBoogie aktiv_icon

21:33 Uhr, 14.04.2015

\frac{\partial f}{\partial x_{k}} = \frac{\partial (\sum_{i, j} c_{i j} x_{i} x_{j})}{\partial x_{k}} = \sum_{i, j} \frac{\partial c_{i j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{k}} = \sum_{i \neq j} \frac{\partial c_{i j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{k}} + \sum_{i} \frac{\partial c_{i i} x_{i}^{2}}{\partial x_{k}} = \sum_{i \neq k} \partial c_{i k} x_{i} + \sum_{j \neq k} \partial c_{k j} x_{j} + 2 c_{k k} x_{k} =

= \sum_{i} \partial c_{i k} x_{i} + \sum_{i} \partial c_{k i} x_{i}

maximal99 aktiv_icon

08:57 Uhr, 15.04.2015

Okay, das sollte soweit auch klar sein. Dann ist Df(x)

= C x + C^{T} x

.
Jetzt habe ich eine lineare Abbildung, oder? Und wie untersuche ich jetzt auf totale Differenzierbarkeit?

DrBoogie aktiv_icon

09:19 Uhr, 15.04.2015

Da gibt's nicht mehr zu untersuchen. Es ist gezeigt worden, dass in jedem Punkt

x

die Ableitung von

f

existiert (sie ist sogar explizit berechnet worden). Damit ist

f

überall total diff-bar.

maximal99 aktiv_icon

10:38 Uhr, 15.04.2015

Bei der Summen-Ableitung bin ich leider noch etwas verwirrt.

\frac{\partial f}{\partial x_{j}} = \sum_{i, j}^{n} \frac{\partial C_{i, j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{j}} = \sum_{i \neq j}^{n} \frac{\partial C_{i, j} x_{i} x_{j}}{\partial x_{j}} + \sum_{i = j}^{n} \frac{\partial C_{i, i} x_{i}^{2}}{\partial x_{j}} = \sum_{i \neq j}^{n} C_{i, j} x_{i} +

Also ich weiß nicht so recht nach

j

zu differenzieren(wenn das ok ist?) bzw. verstehe ich ungefähr an dieser Stelle auch deine Schritte nicht mehr.

Edit: Habs doch verstanden, hab die Summen mal auf einem Blatt ausgeschrieben und dann differenziert.

maximal99 aktiv_icon

10:47 Uhr, 15.04.2015

Wenn es das bereits war, dann vielen Dank und einen schönen Tag!

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