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Bestimmen der Parabel durch 2 Punkte und Tangente

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Parabel, Parabelgleichung, Quadratische Funktion, Quadratische Gleichung, Tangentengleichung

Gian92 aktiv_icon

11:15 Uhr, 25.05.2009

Hallo Zusammen,

Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe und wäre sehr froh wenn jemand mir diese genau erklären könnte.

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Parabel, die die Gerade

g

berührt und durch die Punkte

P

und

Q

geht.

g : y = - 0.3 x + 10.6

P (- 4; 1.8)

Q (- 9; - 9.2)

Lösung nach Lösungsschlüssel:

y = - 0.1 x^{2} + 0.9 x + 7

y = - 2.5 x^{2} - 30.3 x - 79.4

Die Grundform einer Quadratischen Funktion ist ja:

y (x) = a x^{2} + b x + c

Dann hat man schon mal 3 Gleichungen:

1.8 = 16 a - 4 b + c

- 9.2 = 81 a - 9 b + c

y = - 0.3 x + 10.6

Ich habe nun versucht die ersten 2 gleichungen gleich zu setzen:

16 a - 4 b - 1.8 = 81 a - 9 b + 9.2

Aber dadurch kam ich keinen Schritt weiter und auch mit dem auflösen auf

a, b, c

nicht.

Ich habe schon verzweifelt versucht über die 2 Punkte eine Funktionsgleichung zu erhalten, was aber nicht funktioniert hat. Leider ist mir das Ableiten nicht ausführlich bekannt, und ich denke es müsste ohne ableiten möglich sein.

Bitte um Hilfe!

Vielen Dank!

Freundliche Grüsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Mitternachtsformel
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Einführung Funktionen
Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Astor aktiv_icon

12:02 Uhr, 25.05.2009

Hallo,
an welcher Stelle soll die Gerade g Tangente sein?
Gruß Astor

Gian92 aktiv_icon

12:06 Uhr, 25.05.2009

Hallo Astor.

Die gerade

g

ist Tangente an die Parabeln die ich bestimmen soll.

Freundliche Grüsse

Danke schonmal.

Parabel bestimmen durch 2 Punkte und Tangente

Gian92 aktiv_icon

12:09 Uhr, 25.05.2009

Ich denke mir mal das ich die Tangentialpunkte herausfinden muss und dann die Parabel anhand von 3 Punkten bestimmen sollte, aber leider weiss ich immer noch nicht wie das gehen sollte.

Loobia aktiv_icon

13:54 Uhr, 25.05.2009

weisst du in welchem punkt

g

berührt wird?

Gian92 aktiv_icon

14:02 Uhr, 25.05.2009

Hallo Loobia

Nach der Aufgabenstellung weiss ich das leider nicht, aber mit der Lösund kann man diesen Punkt bestimmen indem man die Gleichungen gleich setzt, die Diskriminante wird dann 0 betragen, und das kan man mit der formel

xs=

\frac{- b}{2 a}

die

X -

Kordinate bestimmen und dann in die herausgefundene Gleichung einsetzen.

Also suche ich eigentlich den Tangentialpunkt, also den Berührungspunkt zwischen der Parabel und der geraden. nehme ich mal an.

Danke

Freundliche Grüsse

Sams83 aktiv_icon

14:05 Uhr, 25.05.2009

Hallo,
Nenne Deinen Punkt, in dem

g

deine Parabel beruehrt, einfach

(m | n)

Dann gilt:

1,8 = 16 a - 4 b + c

- 9,2 = 81 a - 9 b + c

- 0,3 =

2am+b (Steigung der Tangente = Steigung der Parabel im Punkt

m)

n = - 0,3 m + 10,6 ((m | n)

ist Punkt von Gerade)

n =

am2+bm+c

((m | n)

ist Punkt von Parabel)

Das Gleichsetzen der letzten beiden Gleichungen ist glaube ich das, was du in deinem letzten Beitrag meintest.

Meines Erachtens kommst Du nicht drum herum, die Ableitung der Parabel zu benutzen, wenn du die dritte Gleichung (Steigung der Tangente = Steigung der Parabel) aufstellen willst.

Gian92 aktiv_icon

14:24 Uhr, 25.05.2009

Könnte jemand mir also den gesamten Lösungsweg notieren?
Mit der Ableitung.

Sams83 aktiv_icon

15:03 Uhr, 25.05.2009

Hallo,

ich schreib Dir’s bis zu dem Punkt auf, wo Du sämtliche Gleichungen da stehen hast.

Die allgemeine Parabelgleichung lautet:

f (x) =

ax^2

+

+ c

Die Ableitung dieser Parabelgleichung ist:

f' (x) =

2ax

+ b

Mit Hilfe der angegebenen Bedingungen kann man 5 Gleichungen aufstellen:

1 .

Punkt

P

ist Punkt der Parabel:

f (- 4) = 1,8

2 .

Punkt

Q

ist Punkt der Parabel:

f (- 9) = - 9,2

3 .

Gerade

g

ist Tangente der Funktion

f (x)

. Das bedeutet, es gibt einen Punkt

(m | n),

in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Funktion ist. Steigung der Funktion in einem Punkt ist aber nichts anderes als die Ableitung dieser Funktion in diesem Punkt, also:

f

’(m)

= 0,3

4 . (m | n)

ist Punkt der Gerade:

n = - 0,3 m + 10,6

5 . (m | n)

ist Punkt der Parabel:

f (m) = n

Damit kommt man auf folgende Gleichungen

1 . 1,8 = 16 a - 4 b + c

2 . - 9,2 = 81 a - 9 b + c

3 . - 0,3 =

2am

+ b

4 . n = - 0,3 m + 10,6

5 . n =

am^2

+

+ c

Das Umformen ueberlasse ich Dir! :-)

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