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Beweis Ableitung von e^x = e^x

Schüler

Tags: Ableitung, Beweis, e-Funktion

Hueftsteak aktiv_icon

21:06 Uhr, 16.01.2011

Hallo!

Ich bereite gerade ein Referat vor, in dem ich beweisen muss dass die Ableitung von

e^{x} = e^{x}

ist.
Dazu habe ich eine Vorlage:

e^{x} = 1 + \frac{x}{1}! +

x²/2!

+

x³/3!

...

das wäre also:

e^{x} = 1 + \frac{x}{1} \cdot 1 +

x²/1*2

+

x³/1*2*3

...

das wäre dann:

e^{x} = 1 + \frac{x}{1} +

x²/2

+

x³/6
abgeleitet soll das ganze ergeben:

e^{x}' = 0 + 1 + x +

1/2x²

. .

. (bei der Zeile bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig ist)

Auf jeden Fall weiß ich, dass 1 abgeleitet 0 ergibt und die anderen Zahlen abgeleitet das ergeben soll, was links vorm

+

steht. also

\frac{x}{1}!

soll abgeleitet 1 ergeben, x²/2! soll

\frac{x}{1}!

ergeben, x³/3! soll x²/2! ergeben

. .

. usw. (so richtig?)
Nun verstehe ich nicht, wie man zB

\frac{x}{2}

ableitet. Könnte mir das jemand Schritt für Schritt erklären? Wie muss ich da vorgehen? Mussich eine Ableitungsregel anwenden?

Schon man vielen Danke, Hüftsteak.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
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hagman aktiv_icon

22:03 Uhr, 16.01.2011

Woher kennst du sies Potenzreihe

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

? Ist das eure Definition der Expomentialfunktion oder wurde die Reihe irgendwie hergeleitet?
Wenn es die Definition ist, müssen wir ausschließlich iervon ausgehen. Ist aber auch nicht schwierig:
Es sollte bereits bekannt sein, dass eine Potenzreihe in ihrem Konvergenzradius kompakt konveriert, also um jeden inneren Punkt herum in einer hinreichend kleinen Umgebung gleichmäßig.
Ferner sollte bekannt sein, dass in diesem Fall Summation und Ableitung vertauscht werden dürfen, dass also die Ableitung von

\frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}' (x)

ist.
Die einzelnen Summanden sind aber von besonders einfacher Form:

f_{n} (x) = \frac{1}{n!} \cdot x^{n}

.
Das dürfte so ziemlich eine der ersten Funktionen sein, von denen du die Ableitung gelernt hast.

artiiK aktiv_icon

22:06 Uhr, 16.01.2011

ich nehme an, folgendes darfst du nicht verwenden...

\to f (x) = e^{x}; g (x) = ln (x)

\to f' (x) = \frac{1}{\frac{ln (f (x))}{d x}}

= \frac{1}{\frac{1}{e^{x}}} = e^{x}

Edit: das Differenzial stimmt nicht. Es soll statt

d x

df(x) heißen...

Hueftsteak aktiv_icon

15:56 Uhr, 17.01.2011

Danke, ihr habt mir schon sehr geholfen! :-)

bin zum Teil auch selber drauf gekommen. Mir war nur nicht so recht kla, wie ich zB. x²/2 ableite. also ich wusste zwar, was rauskommen soll, aber der Weg dahin war mir noch nicht ganz klar. habs nun raus! :-)

Hüftsteak

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