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Beweis des Satz von Schwarz

Universität / Fachhochschule

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Tags: Ableitung, Analysis, Funktion, Partielle Ableitung

philwa aktiv_icon

12:39 Uhr, 07.12.2011

Hallo,
ich bräuchte Hilfe beim Verständnis des Satzes von Schwarz.
Beim Beweis geht man so vor, dass man eine Hilfsfkt.

h

einführt:

h (u, v) := f (x + u, y + v) - f (x + u, y) - f (x, y + v) + f (x, y)

und diese mit der Fkt.

g

beschreibt:

g (u, v) := f (x + U, y + v) - f (x + u, y)

sodass:

h (u, v) = p (u, v) - p (0, v)

das ist mir soweit klar aber dann soll der Mittelwertsatz für das Intervall

[0,1]

angewendet werden,
und man erhält:

h (u, v) = u g_{x} (α u, v)

es soll also die Existenz eines

α

nachgewiesen werden.

Nun frag ich mich wie man auf diese Formel kommt?

g_{x}

ist ja die part. Abl. nach

x

für

g

aber wie erhält man das Ergebnis?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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hagman aktiv_icon

15:18 Uhr, 07.12.2011

Wohl eher

h (u, v) = g (u, v) - g (0, v)

Der Mittelwertsatz sagt

φ (u) - φ (0) = (u - 0) \cdot φ' (ξ)

mit

0 < ξ < u

.
Hier ist

φ (\cdot) = g (\cdot, v),

also

φ' (\cdot) = g_{x} (\cdot, v)

h (u, v) = g (u, v) - g (0, v) = (u - 0) \cdot g_{x} (ξ, v)

philwa aktiv_icon

18:27 Uhr, 07.12.2011

Viele Dank erstaml für die schnelle Antwort.
Jetzt scheint mir das um einiges klarer zu sein.

Aber eine Frage hätte ich noch,
warum fehlt jetzt hier "⋅"(hinter dem

ξ) :

h(u,v)=g(u,v)−g(0,v)=(u−0)⋅g_x(ξ,v)

Da bei mir steht ja:
h(u,v)=ug_x(αu,v)

heißt das, dass das

u

hinter

α,

zu viel ist, also falsch ist?

hagman aktiv_icon

21:20 Uhr, 07.12.2011

Es gibt zwei Formen des Zwischenwertsatzes:
Entweder

f (b) - f (a) = (b - a) \cdot f' (ξ)

mit

ξ

zwischen a und

b,

was man leider nicht immer als

a < ξ < b

schreiben kann, sondern es kann ja auch

b < ξ < a

gelten, wenn bereits

b < a

ist.
Oder

f (b) - f (b) = (b - a) \cdot f' (a + ϑ \cdot (b - a))

mit

ϑ

zwischen 0 und

1,

also

0 < ϑ < 1

. Diese Variante wirkt unübersichtlicher, vermeidet aber die Fallunterscheidung nach

a < b

vs.

b < a

.
Mit dieser zweiten Form ergibt sich deine Formel

philwa aktiv_icon

00:58 Uhr, 09.12.2011

Ok, jetzt habe ich es verstanden :-)
Danke nochmal!

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