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Extrempunkte und Sattelpunkte bei f'(x)=f''(x)=0
Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe
Tags: Ableitung, Extrempunkt, Sattelpunkt
 
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Zunächst mal: ich glaube, ihr habt hier: www.onlinemathe.de/forum/Extrempunkte-eines-Funktionsgraphen einen Fehler. Dort steht: "Für ein Extrempunkt gilt stets: " Dabei ist es genau die andere wenn-dann-Beziehung: wenn , dann ist ein Extrempunkt. Ist jedoch und , ist nicht eindeutig, ob es sich um einen Extrempunkt oder einen Sattelpunkt handelt. (Ich glaube zwar nicht, dass dieser Satz in der Schulmathematik einen Unterschied macht...) Nun wird oft der Vorzeichenwechseltest angewandt: in einer hinreichend kleinen Umgebung auf beiden Seiten von wird das Vorzeichen der ersten Ableitung überprüft, um zu ermitteln, wie die Steigung der Funktion an dieser Stelle aussieht. Ist sie +/0/+, liegt ein Minimum vor, -/0/- ist ein Maximum und +/0/- und -/0/+ sind Sattelpunkte. Es gibt jedoch eine zweite Möglichkeit, zu bestimmen, ob ein Extrem- oder Sattelpunkt vorliegt: das Überprüfen höherer Ableitungen. Die enWP hat einen Artikel dazu: en.wikipedia.org/wiki/Higher-order_derivative_test Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass die Methode funktioniert? €: Grr, wieder falsches Forum. Kann das bitte jemand Richtung Uni verschieben? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Scheint tatsächlich falsch zu sein. Bekanntes Gegenbeispiel ist . ist offensichtlich ein Tiefpunkt, aber . |
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Als Schülerin schockiert mich diese Erkenntnis grade Wir haben zwar mit der Formulierung immer genau aufgepasst und "Wenn ist, so ist ein Extrempunkt" geschrieben, statt die andere Richtung, aber das mit dieser Regel nicht alle Extrempunkte aller Funktionen berechnet werden können, war mir nicht klar. Die Methode mit dem Vorzeichenwechsel ist mir nicht bekannt, aber rein intuitiv würde ich behaupten, dass es andersrum sein muss. Also Maximum bei Wechsel, Minimum bei Wechsel und Sattelpunkt bei bzw. . Aber das ist nur die Meinung einer Schülerin, muss nicht richtig sein :-D) Hat man das Problem nicht bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten immer? Bei Funktionen der Form stimmt die Regel dann ja wieder. Es gibt (oh Wunder) keine Extremstellen. Wie kann man das sinnvoll Begründen, dass diese Methode mit dem Betrachten der 2. Ableitung nicht immer Funktioniert? |
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also, mal step-by-step. "Als Schülerin schockiert mich diese Erkenntnis grade :O Wir haben zwar mit der Formulierung immer genau aufgepasst und "Wenn f'(x)=0∧f''(x)≠0 ist, so ist x ein Extrempunkt" geschrieben, statt die andere Richtung, aber das mit dieser Regel nicht alle Extrempunkte aller Funktionen berechnet werden können, war mir nicht klar." Genau darum geht es. "Die Methode mit dem Vorzeichenwechsel ist mir nicht bekannt, aber rein intuitiv würde ich behaupten, dass es andersrum sein muss. Also Maximum bei +,0,- Wechsel, Minimum bei -,0,+ Wechsel und Sattelpunkt bei +,0,+ bzw. -,0,-. Aber das ist nur die Meinung einer Schülerin, muss nicht richtig sein :-D))" Ups, da war ich zu schnell. Beim Minimum ist die erste Ableitung erst negativ, dann null, dann positiv. (Deshalb ist die zweite Ableitung stets positiv, da hatte ich ein Blackout.) Also -/0/+. Ist so korrekt, wie du es gesagt hast. "Hat man das Problem nicht bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten ≠2 immer? Bei Funktionen der Form stimmt die Regel dann ja wieder. Es gibt (oh Wunder) keine Extremstellen." Jep, bei x^4, x^6 etc. Aber es gibt mehr, wie z. B. oder wenn ich richtig gerechnet habe. Originalfunktion hat Extremstellen bei . 1. Ableitung, Nullstellen bei . 2. Ableitung, Nullstellen bei . Hier bestimmst du zuverlässig alle Hochpunkte, aber keinen einzigen Tiefpunkt (was dich stutzig machen sollte, immerhin ist die Funktion stetig). "Wie kann man das sinnvoll Begründen, dass diese Methode mit dem Betrachten der 2. Ableitung nicht immer Funktioniert?" Notwendiges Kriterium für Extrempunkt in : . Stell dir nun die erste Ableitung als Graph vor. Dieser hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse im Punkt . Die zweite Ableitung ist jedoch die Steigung der ersten. Wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ ist, bedeutet das, dass die Tangente an an diesem Punkt einen negativen Anstieg hat. Sie geht vom positiven ins negative. Das heißt, die erste Ableitung wechselt vom positiven ins negative (hoffentlich ists diesmal richtig rum). Das heißt, unsere Originalfunktion wechselt von positiver Steigung zu negativer, was einen Hochpunkt darstellt. Genau umgekehrt die Argumentation für positive zweite Ableitung. Im dritten Fall haben wir jedoch ein Problem: die Tangente an den Punkt ist waagerecht, wir können nichts über die unmittelbare Umgebung von aussagen. Die erste Ableitung kann sozusagen verlaufen, wie immer sie möchte. Deshalb muss man hier weiter testen. Kann man folgendermaßen argumentieren? Wenn und , dann hat in einen Extrempunkt (erste Ableitung 0, zweite Ableitung 0). Das heißt, ist ein Wendepunkt (rein aus der Anschauung - geht das auch mathematisch?). Dieser Wendepunkt geht durch Null. Das Integral des Wendepunktes durch Null wiederum müsste wieder ein Extrempunkt sein. Daraus lässt sich dann meine Annahme elementar ableiten. Anmerkungen, insbesondere zu den "informalen" Teilen des Beweises? |
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Also bei dürfte es mit der 2. Ableitung doch funktionieren, jedenfalls ist bei mir in dem Fall die zweite Ableitung für alle drei . Problematisch wird es dann aber . bei den Funktionen . In beiden Fällen würde man drauf kommen, dass kein Extrempunkt ist. Genau, in den ersten Fällen oder ist alles klar. Das Problem liegt bei . Ich dachte, und so wurde es mir auch von meinem Mathe Lehrer verkauft, dass wenn definitiv keine Extremstellen hat. Die Frage ist, was mache ich im Abi, wenn ich mich darauf nicht verlassen kann. Stur wie gehabt rechnen oder Vorzeichenwechselmethode, die ich offiziel nicht können dürfte? Jedenfalls ist das Problem, dass, wenn die 1. Ableitung in dem Extrempunkt eine Steigung von 0 hat, an der Stelle entweder einen Sattelpunkt oder einen Extrempunkt haben kann. Mir ist jetzt aber noch nicht ganz klar, was ein Sattelpunkt bzw. ein Extrempunkt in der 1. Ableitung für bedeutet. Ein Extrempunkt in würde doch heißen, dass dann da einen Sattelpunkt haben muss, oder? Und ein Sattelpunkt in würde dann für einen Extrempunkt in sprechen. Das würde dann ja auch der Vorzeichenwechsel in bestätigen. Ich hoffe, das stimmt alles so... Deine Frage kann ich dir auf jeden Fall nicht beantworten, dazu reichen meine Kenntnisse dann doch nicht aus :-P) |
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Äh, ja. funktioniert besser^^ "Die Frage ist, was mache ich im Abi, wenn ich mich darauf nicht verlassen kann. Stur wie gehabt rechnen oder Vorzeichenwechselmethode, die ich offiziel nicht können dürfte?" Kurze Frage, über welches Abitur reden wir genau? Die Bundesländer sind so unterschiedlich... Aber, btw, in meinem sächsischen Lambacher Schweitzer im Kapitel über Extrem- und Wendestellen wird es richtig erklärt, da bin ich mir ziemlich sicher. Wenn die sowas im Abitur fragen? Ich bin mir ziemlich sicher, dass sie das nicht fragen, aber wenn, dann machst du es bitte richtig. Prinzipiell sollte es der Lehrer nämlich richtig erklären ;-) "Ein Extrempunkt in f'(x) würde doch heißen, dass f(x) dann da einen Sattelpunkt haben muss, oder? Und ein Sattelpunkt in f'(x) würde dann für einen Extrempunkt in f(x) sprechen. Das würde dann ja auch der Vorzeichenwechsel in f'(x) bestätigen." Ja, aber nur, wenn Sattel- bzw. Extrempunkt durch Null gehen - was sie in diesem Fall aber immer tun müssen. |
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Hallo, also erstmal keine Angst. In der Regel werden im Abi nicht solche extremschweren Aufgaben gestellt. Man kann es da mit der altbewerteten Methode machen. Also schauen wie sind die Ableitungen definiert an der Stelle Methode: Gegeben sei eine Funktion f(x). Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f '(x0) = 0 Die hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt ist f '(x0) = 0 und f ''(x0) < 0 Die hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt ist f '(x0) = 0 und f ''(x0) > 0 Ist f '(x0) = 0 und f ''(x0) = 0 so ist nur die notwendige Bedingung aber nicht die hinreichende Bedingung erfüllt, daher müssen Sie überprüfen, ob an der Stelle x0 ein Vorzeichenwechsel bei der Funktion f '(x) vorliegt. - Ist es ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus so ist es ein Tiefpunkt. - Ist es ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus so ist es ein Tiefpunkt. - Liegt kein Vorzeichenwechsel so ist es auch kein Extrempunkt. Ein kleines Beispiel, das oben von Prodomo angemerkt worden ist: f(x) = x4 f '(x) = 4x³ f ''(x) = 12x² Notwendige Bedingung: f '(x) = 0 4x³ = 0 | :4 ⇔ x³ = 0 | ±3 ⇔ x = 0 Hinreichende Bedingung: f '(x) = 0 und f ''(x) ≠ 0 f ''(0) = 0 ⇒ Die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt, daher müssen Sie eine Vorzeichenwechseluntersuchung durchführen Für x < 0 ist f '(x) < 0 und für x > 0 ist f '(x) > 0 ⇒ Die Funktion hat einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus ⇒ An der Stelle x = 0 ist ein Tiefpunkt Berechnen der y-Koordinate f(0) = 0 Die Funktion hat einen Tiefpunkt T(0;0) Wie du siehst kannst du immer nach der Methode gehen, Ableitungen bilden und rechnen. Gruss |
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Kleine Anmerkung - der Test auf Vorzeichenwechsel muss innerhalb einer stetigen Umgebung um erfolgen, die keine weiteren Nullstellen hat. Das ist aber allgemein kein Problem, da man Unstetigkeitsstellen und Nullstellen der ersten Ableitung vorher schon bestimmt hat. |
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Soweit mir bekannt ist, gibt es noch eine andere Regel. Wenn und die erste von 0 verschiedene Ableitung von gerader Ordnung ist (zweite, vierte, usw.), dann liegt ein Extremum vor. Bin aber nicht sicher, ob meine Erinnerung richtig ist. |
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Danke für die aufmunternden Worte! :-) Wir reden über das Abitur in Schleswig-Holstein. Wir haben bisher wirklich immer angenommen, dass, wenn gilt, definitiv kein Extrempunkt vorliegt. Es mag zwar sein, dass es mit unseren Fuktionen immer hinhaute, trotzdem ist das ja falsch. Die Methode mit dem Vorzeichenwechsel erscheint mir mittlerweile einleuchtend. Habe ich . einen Kandidaten für eine Nullstelle bei kann ich und einsetzen (sofern die 1. Ableitung zwischen den Werten und 0 keine weitere Nullstellen hat...) und hoffen, dass ich dann einen Vorzeichenwechsel habe. Genaugenommen müsste ich diese Methode dann ja auch bei anwenden, denn da gilt ja auch aber ich kann dann nicht automatisch drauf schließen, dass keine Extremstellen hat. Der Einwand von commander-m. ist mir auch klar, bisher ist mir in der Schule aber keine nicht-stetige (=diskrete??) Funktion zu Gesicht gekommen, wenn man die Stochastik mal außenvor lässt. Die Frage die sich mir jetzt natürlich noch stellt ist die: Habe ich selbes Problem auch bei der Betrachtung der Wendestellen? Also bedeutet dass eventuell doch ein Wendepunkt vorliegen kann? Ich müsste dann den Vorzeichenwechsel mit der 2. Ableitung durchführen, oder? |
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korrekt, siehe de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Hinreichendes_Kriterium_unter_Verwendung_weiterer_Ableitungen Eine Nicht-Wendestelle nennt man dann Flachpunkt: de.wikipedia.org/wiki/Flachpunkt Nimm dir mal oder noch schlimmer und versuche dort, das Vorzeichenkriterium anzuwenden. Im ersten Fall geht das noch, im zweiten Fall ist das Ableitungen testen einfacher. Dann wiederum gibt es aber diesen ziemlich krassen Fall: de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Besondere_F.C3.A4lle Aber das sind Dinge, die man von dir im Abitur nicht erwarten wird ;-) |
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Trotzdem mal interessant, das zu wissen :-) Und bei diesen miesen Funktionen, wo kein hinreichendes Kriterium zutrifft, hat man dann keine Chance, die Wendestellen zu untersuchen? Interessant finde ich auch diese Bedingung für Wendestellen . dein Link) mit den weiteren Ableitungen. Kann man das irgendwie logisch erklären, dass dies so sein muss? Und kann man das auf Extremwerte übertragen? . so: Ist mal differenzierbar und ist und so ist Extremstelle, wenn gerade (oder ungerade?!) ist. |
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"Und bei diesen miesen Funktionen, wo kein hinreichendes Kriterium zutrifft, hat man dann keine Chance, die Wendestellen zu untersuchen?" Naja, ein Kriterium passt ja (hoffentlich) immer. Entweder der Vorzeichenwechsel oder die nächstgrößere Ableitung. "Interessant finde ich auch diese Bedingung für Wendestellen (s. dein Link) mit den weiteren Ableitungen. Kann man das irgendwie logisch erklären, dass dies so sein muss? Und kann man das auf Extremwerte übertragen? Z.B. so: Ist mal differenzierbar und ist und , so ist x Extremstelle, wenn n gerade (oder ungerade?!) ist." Ja, das war meine Ursprungsfrage ;-) Ich hab aber jetzt einen halbwegs vollständigen Beweis. Man nehme eine Funktion, die in null ist. Deren Ableitung soll an dieser Stelle einen Extrempunkt haben und auch durch null gehen. Wie sieht dann unsere Ursprungsfunktion aus? Offensichtlich hat sie in auch die Steigung null (da erste Ableitung null). Die erste Ableitung kann links des Extrempunkts negativ (Maximum) oder positiv (Minimum) sein. (Das kann ich sagen, da der Extrempunkt ja bei null liegt.) Ist die Ableitung negativ, bedeutet das, dass die Ursprungsfunktion fällt - und zwar zum Punkt . Das heißt, sie ist positiv. Rechts des Extremwerts ist die Ableitung auch negativ. Die Ursprungsfunktion fällt alos weiter und geht ins negative. Dies ergibt anschaulich einen Sattelpunkt . Ist die Ableitung positiv, bedeutet das, dass die Ursprungsfunktion anstiegt, sie muss also aus dem Negativen kommen. Da die Ableitung auch rechts der null positiv ist, steigt die Funktion weiter, was wieder einen Sattelpunkt ergibt. Dasselbe kann man mit Sattelpunkten in der ersten Ableitung machen. Dann sieht man, dass die nächstniedrigere Ableitung eines Extrempunkts durch null ein Sattelpunkt und die nächstniedrigere Ableitung eines Sattelpunkts ein Extrempunkt ist. Das heißt anschaulich gesprochen, jede zweite Ableitung ist ein Extrempunkt, Extrem- und Sattelpunkte wechseln sich ab. Dabei korrespondiert eine Form von Extrempunkt mit einer Form von Sattelpunkt, sodass sogar der Typ (Minimum/Maximum, Links-zu-rechts/rechts-zu-links) erhalten bleibt. Puh, schon wieder so viel. Analog funktioniert das auch mit Wendestellen, das ist mir jetzt aber zu viel Arbeit :-D) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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