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Hochpunkt,Tiefpunkt,.....)

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Wendepunkte

anna8

17:59 Uhr, 23.04.2008

Ich muss untersuchen welche Punktart an der Stelle

x

vorliegt,Hochpunkt,Tiefpunkt,Wendepunkt oder Sattelpunkt
a)f(x)2x³-6x²,x=1 und

x = 2

b)xhoch5-xhoch4,x=0

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Akonia

18:10 Uhr, 23.04.2008

zur Untersuchung einer Funktion benötigt man immer deren Ableitungen:

a) f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2}

f' (x) = 6 x^{2} - 12 x

f'' (x) = 12 x - 12

f''' (x) = 12

nun setzt du dein x-Wert ein:

f' (1) = - 6

da die erste Ableitung nicht 0 ist, handelt es sich bei

x = 1

schon mal NICHT um ein Extremum

f'' (1) = 0

f'''(1)ungleich 0

da die zweite Ableitung 0 und die dritte Ableitung ungleich 0 ist, handelt es sich bei

x = 1

um einen Wendepunkt.

f' (2) = 0

bei

x = 2

ist ein Extremum

f'' (2) = 12 > 0

da die zweite Ableitung größer 0 ist, handelt es sich bei diesem Extremum um ein Minimum.

b)

die zweite Funktion ist schon kniffliger, da für

x = 0

alle Ableitungen 0 werden. ich würde dir hierbei empfehlen dir die Fkt zeichnen zu lassen (geh oben auf Mathematik-Wissen) und dann zu schauen was für eine Punktart bei

x = 0

ist.
(ich glaube es ist ein Sattelpunkt)

anna8

18:16 Uhr, 23.04.2008

wow dankeschönnnnnnnn ich versteh dieses thema überhaupt nicht

Akonia

18:56 Uhr, 23.04.2008

dann solltest du dich noch mal mit diesen Thema auseinandersetzen, denn Kurvendiskussionen sind wirklich wichtig und kommen in der Schule oft dran.

um die Graphen von fkten zu untersuchen benötigt man deren Ableitungen, am besten bis zur

3 .

(ich hoffe dir ist klar, wie man Funktionen ableitet ansonstem melde dich noch mal)

1.Ableitung:
die 1. Ableitung gibt Auskunft über die Steigung der Tangente und somit über das Monotonieverhalten der Fkt.

f' (x) < 0 \Rightarrow

der Graph fällt

f' (x) = 0

=>waagrechte Tangente=> Extremum (evtl Sattelpunkt darauf komme ich noch)

f' (x) > 0 \Rightarrow

der Graph steigt

bsp:bestimme das Monotonieverhalten folgender Fkt:

f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 5

f' (x) = 6 x + 4

f' (x) < 0

für

x < - \frac{2}{3}

=>für

x \in] - \infty; - \frac{2}{3} [

fällt der Graph

f' (x) > 0

für

x > - \frac{2}{3}

=>für

x \in] - \frac{2}{3}; \infty [

steigt der Graph

2.Ableitung:
die 2. Ableitung gibt Auskunft über die Krümmung.

f'' (x) < 0 \Rightarrow

Graph ist rechtsgekrümmt

f'' (x) = 0 \Rightarrow

Wendepunkt(evtl Sattelpunkt) wenn zudem 3te Ableitung ungleich 0

f'' (x) > 0 \Rightarrow

Graph ist linksgekrümmt

somit lässt sich aus erter und zweiter Ableitung ein Extremum bestimmen; ein Extremum hat eine waagrechte Tangente sprich die 1. ableitung=0, die zweite ableitung gibt dann über die art des extremums auskunft:

f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 5

f' (x) = 6 x + 4

f'' (x) = 6

die erste Ableitung ist bei

x = - \frac{2}{3}

null.
für

x = - \frac{2}{3}

ist die zweite Ableitung:

f'' (- \frac{2}{3}) = 6

also größer als null

da der Graph an diesem Punkt linksgekrümmt ist, handelt es sich bei dem Extremum um ein Minimum!

die dritte Ableitung ist für Wendepunkt bzw Sattelpunkt wichtig.

Zuasmmenfassung:

f' (x_{0}) = 0

und

f'' (x_{0}) < 0 \Rightarrow

Maximum

f' (x_{0}) = 0

und

f'' (x_{0}) > 0 \Rightarrow

Minimum

f'' (x_{0}) = 0

und

f''' (x_{0})

ungleich

0 \Rightarrow

Wendepunkt

bei dem Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) handelt es sich um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente:

f' (x_{0}) = 0

und

f'' (x_{0}) = 0

und

f''' (x_{0})

ungleich

0 \Rightarrow

Sattelpunkt

anna8

18:57 Uhr, 23.04.2008

könnte jemand mir vllt mit meinen anderen aufgaben weiter helfen

c)1/4xhoch4-4x²-2,x=0 und d)f(x)=ax²-2a²x,a<0,x=a

Akonia

19:04 Uhr, 23.04.2008

zunächst ableitungen bilden:

c) f' (x) = x^{3} - 8 x

f'' (x) = 3 x^{2} - 8

f'' (x) = 6 x

Punkt einsetzen

f' (0) = 0 - 0 = 0

\Rightarrow

Extremum(evtl Sattelpunkt)

f'' (0) = 0 - 8 = - 8 < 0

\Rightarrow

bei dem Extremum handelt es sich um ein Maximum!!!

d)

f_a'(x)=2ax-

2 a^{2}

f_{a}'' (x) = 2 a

Punkt einsetzen:

f_{a}' (a) = 2 a \cdot a - 2 a^{2} = 0

f_{a}'' (a) = 2 a

a < 0

ist die zweite Ableitung

(2 a)

auch kleiner 0

=>Maximum

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