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Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Ableitung, Extrema, maximierung

proxteam aktiv_icon

10:56 Uhr, 11.11.2009

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Um die Menge eines Produktes herzustellen, enstehen einem Unternehmen die Kosten

K (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2} + 20 x - 10 \cdot ln (x + 5) + 50

. Das Produkt wird zum Stückpreis von

40

EUR verkauft. Bei welcher Menge

x

wird der Gewinn des Unternehmenes maximal.

Ich habe mir zwei Lösungsansätze überlegt:

1 .)

Ich habe die Kosten minimiert,

d . h

K (x)

abgeleitet und mit 0 gleichgesetzt. Dann die geprüft ob die kritischen/stationären Punkte ein Minimum sind. Wenn ja, dann war dies die Menge

x,

wann die Kosten für das Unternehmen minimal sind.

2 .)

Ich habe eine neue Gewinnfunktion definiert als

G (x) = 40 x - K (x)

. Anschliessend habe ich diese Funktion abgeleitet, mit 0 gleichgesetzt und die kritschen Punkte überprüft, ob es ein Maximum ist.

Meine Frage:
Weshalb ergeben die beiden Lösungsansätze verschiedene Mengen

x

für die das Unternehmen am wenigsten Kosten hat,

d . h

. am meisten Gewinn erwirtschaftet?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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Jackie251 aktiv_icon

13:08 Uhr, 11.11.2009

ohne jetzt groß zu rechnen,
der einzige negative anteil von

K

ist

- 10 ln (x + 5)

für kleine

x

wird dieser anteil durch das abolute glied

+ 50

aufgewogen
sobald

- 10 ln (x + 5) >

als

50

ist, muss aber schon

+ 20 x

weit größer sein, und damit das negative aufheben.
und

x^{2}

bleibt sowieso als führendes glied.

was ich sagen will ist, das für positive

x

der Wert

K (x)

einfach nur exponential ansteigt.
die funktion sagt nur aus, wenn ich mehr baue, kostet mich das einzelne teil mehr (weil teuerer arbeitskräfte, größere hallen teurere rohstoffe oder was weis ich)

am kostengünstigsten erhalte ich dann ein produnkt, wenn ich keins, oder eben ein stück herstelle. Dennoch muss dann wenn ich sehr billig herstelle, noch kein großer gewinn existieren.
beispiel:
1 stück herstllen kostet

20

je stück

\Rightarrow 40 - 20 \Rightarrow 20

euro gewinn
2 stück herstellen kostet

25

je stück

\Rightarrow 2 \cdot (40 - 25) = 30

euro gewinn

mein gewinn wird größer, obwohl ich je herstellung auch selber mehr gezahlt habe.

richtig kann daher allein aus logischen randbedingungen nur die suche nach den größten Gewinn sein, und nicht die suche nach den geringsen kosten.
die Vorgehensweise

G (x)

abzuleiten würde ich daher wählen..

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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