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Zeige dass f stetig differenzierbar ist

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung, Differentiation, differenzierbar, Stetigkeit

Meloenchen aktiv_icon

18:54 Uhr, 01.02.2014

Hallöchen,

So hoffe ihr könnt mir helfen. Ich soll zeigen, dass die Funktion

f

auf

[- 1,1]

stetig differenzierbar ist.

f(x)=x^3sin(1/x)

X

ungleich 0

f (x) = 0 X = 0

Nun, stetig differenzierbar bedeutet doch dass die Ableitung stetig ist. Ich hätte jetzt einfach die erste Ableitung gebildet,

d . h

f' (x) =

3x^2sin(1/x) - x^3cos(1/x)

Als Hinweis ist gegeben, dass man gleich

f' (0)

berechnen soll.
Ich dachte jetzt : diese Funktion ist dann stetig differenzierbar,wenn ich für den Wert von

f' (0)

(also das Ergebnis davon) auch als grenzwert rausbekomme. Stimmt das nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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Edddi aktiv_icon

19:31 Uhr, 01.02.2014

Jau, du musst zeigen, dass die Ableitung an jeder Stelle existiert. Allerdings ist deine Ableitung falsch. Was ist die Ableitung von

sin (\frac{1}{x})

?

Kettenregel beachten.

:-)

Meloenchen aktiv_icon

19:41 Uhr, 01.02.2014

Also überall differenzierbar im Bereich

- 1

und 1? Toll und wie mach ich das? :-D) oder ist es einfach normal ableiten?

Wieso ist denn meine Ableitung falsch - kettenregel ist mir klar. Aber

sin (\frac{1}{x})

ist doch

- cos (\frac{1}{x})

weil eigentlich steht doch da

sin (x^{- 1})

und ich muss doch die

- 1

vorziehen und Sinus abgeleitet ist

cos

also

- cos (\frac{1}{x})

Oder etwa nicht?

rundblick aktiv_icon

21:23 Uhr, 01.02.2014

"
Oder etwa nicht?
"

\to

.. ja, genau

\to

ganz und gar NICHT !

y = sin (\frac{1}{x})

äussere Funktion

\to y = sin (u)

innere Funktion

\to u = \frac{1}{x}

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

kannst du herausfinden,
wie die Ableitung der inneren Funktion aussieht?

\to \frac{d u}{d x} =

?

also:
welches ist die richtige Ableitung von

y = sin (\frac{1}{x})

\to y' =

Meloenchen aktiv_icon

22:21 Uhr, 01.02.2014

oh natürlich :-D) da Stand ich wohl eben aufm Schlauch.
Also nochmal :

Funktion ist

f (x) = (x^{3}) \cdot sin (\frac{1}{x})

Es gilt kettenregel,

d . h

f' (x) = (3 x^{2}) - (x^{3}) \cdot cos (\frac{1}{x}) \cdot (- \frac{1}{x^{2}})

Weil da steht ja letztendlich

x^{- 1}

und beim Ableiten wird ja immer

- 1

gerechnet :-D)

So zurück zu meiner ursprünglichen Frage: wie muss ich vorgehen?

Edddi aktiv_icon

08:43 Uhr, 02.02.2014

Die Ketteregel hst du nun richtig angewandt, allerdings hast du die zuerst anzuwendene Produktregel wieder vergeigt.

:-)

olivero aktiv_icon

15:44 Uhr, 03.02.2014

Servus, sitze grade an der selben Aufgabe
habe die Ableitung gebildet:

f' (x) = x \cdot (3 x \cdot sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x}))

f' (0) = 0

meine frage ist, was muss ich anschließend machen um zu zeigen dass sie stetig diff'bar ist?

rundblick aktiv_icon

18:53 Uhr, 03.02.2014

"
Servus, sitze grade "

\to . .

. ok , gesunde Haltung, aber:

\to

f' (0) = 0

... \to

wie hast du das herausgefunden?

"
meine frage ist,
was muss ich anschließend machen um zu zeigen dass sie stetig diff'bar ist? "

\to

kannst du feststellen - ob -oder- dass

f' (x)

überall stetig ist ?

olivero aktiv_icon

19:06 Uhr, 03.02.2014

dachte durch das

x

vor der klammer wird der ganze ausdruck null, hab aber vergessen dass man bei sin und

cos

nicht

\frac{1}{0}

rechnen darf...
folgt daraus nicht gleich, dass die ableitung nicht stetig ist, weil man an der stelle

x = 0

keinen wert für die ableitung erhält?

rundblick aktiv_icon

19:17 Uhr, 03.02.2014

ja
.. wegen des

\frac{1}{x}

ist

f'

im Prinzip für

x = 0

nicht definiert und damit dort nicht stetig..

aber immerhin kannst du einen existierenden Grenzwert an der Stelle

x = 0

finden ..
und damit wäre

f'

zumindest in die Stelle

x = 0

hinein stetig fortsetzbar

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