Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zweite Ableitung einer Wurzelfunktion bestimmen

Zweite Ableitung einer Wurzelfunktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Kettenregel, Produktregel, Wurzelfunktion

Juhini17 aktiv_icon

20:32 Uhr, 01.02.2013

Hallo,
wir haben die Hausaufgabe, die zweite Ableitung der Funktion

f : f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}}

zu bestimmen. Die erste Ableitung habe ich schon bestimmt, dazu habe ich die Kettenregel angewendet.
Jetzt hat unser Lehrer gesagt, dass man für die zweite Ableitung die Kettenregel und Produktregel braucht. Ich beschreibe zuerst wie ich f´(x) bestimmt habe.

f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}}

= {(4 x - x^{2})}^{0,5}

Die Kettenregel haben wir so gelernt, dass man die Klammer als eine Funktion

g (x)

und den Exponenten als weitere Funktion

f 1 (x)

betrachtet, die auf die Klammer angewendet wird. Also wird die Ableitung so bestimmt f´(x)= f1´(g(x))

\cdot

g´(x), somit "äußere Ableitung"

\cdot

"innere Ableitung".

g (x) = - x^{2} + 4 x

g´(x)=

- 2 x + 4

f 1 (x) = {()}^{0,5}

f1´(x)=

0,5 \cdot {()}^{- 0,5}

f´(x)

= 0,5 \cdot (- x^{2} + 4 x) \cdot (- 2 x + 4)

= (- x + 2) \cdot {(- x^{2} + 4 x)}^{- 0,5}

Bei der zweiten Ableitung wird ja dann die Produkt- und Kettenregel benötigt, also:
f´´(x)= u´(x)

\cdot v (x) + u (x) \cdot

v´(x)
Hier wird ja jetzt glaube ich für

u (x),

u´(x) und

v (x)

die Produktregel und für v´(x) die Kettenregel angewendet.

u (x) = (- x + 2)

u´(x)=

- 1

v (x) = {(- x^{2} + 4 x)}^{- 0,5}

v´(x)=

- 0,5 {(- x^{2} + 4 x)}^{- 1,5} \cdot (- 2 x + 4)

f´´(x)=

- 1 {(- x^{2} + 4 x)}^{- 0,5} + (- x + 2) \cdot (- 0,5 \cdot {(- x^{2} + 4 x)}^{- 1,5} \cdot (- 2 x + 4))

= - 1 {(- x^{2} + 4 x)}^{- 0,5} + (- x + 2) \cdot (x - 2) \cdot {(- x^{2} + 4 x)}^{- 1,5}

Ab hier weiß ich nicht weiter. Ich hoffe es kann mir einer weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?