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hinreichende Bedingungen für innere Extremstellen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Ableitung, hinreichende Bedingung, Vorzeichenwechsel
 
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hii!! Hab eine wichtige Frage. Ermitteln Sie die Extremwerte der Funktion f. Verwenden Sie für die hinreichende Bedingung den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung. f(x)= x^5-5x^4-2 Danke im voraus! |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel | |
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Hi da du ja Profi bist, nur eine kurze Erklärung :-) Kriterien für Extrema: Notwendig: f'(x)=0 Hinreichend: f''(x)#0 bzw >0 -> Minimum und kleiner 0 -> Maximum Die hinreichende Bedingung kannst du auch nach einer geometrischen Überlegung ersetzen: Ist x kleiner als xe (x-Wert des Extremums) und die Steigung kleiner als 0 (du setzt also in die erste Ableitung einen kleineren x-Wert als den des Extremums ein) oder x>xe und f'(x)>0 ist es ein Minimum. Es handelt sich also um einen minus zu plus Wechsel. Bei einem maximum ist es umgekehrt. Direkt zu sehen an der Normalparabel. Reicht dir das? Wenn du das verstehst, ist die Rechnung trivial. Deshalb hab ich sie nicht extra aufgeschrieben. Falls es aber nicht klappt, noch mal melden. Grüße |
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anonymous 23:13 Uhr, 25.03.2008 |
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Hallo, zunächst wie bekannt die 1. Ableitung gleich Nu´ll setzen (notwendige Bedingung für einen Extrempunkt): f'(x)=5*x^4-20*x^3 f'(x)=0: 5*x^4-20*x^3=0 5*x^3*(x-4)=0 x_1/2/3=0, x_4=4 Nun muss man für die errechneten Stellen untersuchen, ob die 1. Ableitung dort einen VZW besitzt, und wenn ja, welcher Art dieser ist (+/-: Hochpunkt, -/+: Tiefpunkt): Sei h größer Null aber klein gegen 1 (sorry für die seltsame Ausdrucksweise, aber Größer- und Kleinerzeichen funktionieren hier gerade nicht). f'(0-h)=5*h^4+20*h^3 "größer" 0 f'(0+h)=5*h^4-20*h^3 "kleiner" 0 also liegt an der Stelle x=0 ein VZW +/- und damit ein Hochpunkt vor. f'(4-h)=5*(4-h)^4-20*(4-h)^3 =5*(256-256h+96h^2-16h^3+h^4)-20*(64-48h+12h^2-h^3) =-320h+240h^2-60h^3+5h^4 "kleiner" 0 [die kleinste Potenz von h entscheidet, da h sehr klein ist!) f'(4+h)=5*(4+h)^4-20*(4+h)^3 =5*(256+256h+96h^2+16h^3+h^4)-20*(64+48h+12h^2+h^3) =320h+240h^2+60h^3+5h^4 "größer" 0 also liegt an der Stelle x=4 ein VZW -/+ vor und somit ein Tiefpunkt. y-Werte kannst Du ja selbst ausrechnen, ich hoffe, meine Ausführungen helfen weiter! Gruß, Diophant |
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danke für deine Hilfe, aber könntest du das vielleicht genauer erklären?? ,,matheprofi'' ist nur ironisch gemeint. Gruß |
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| ich verstehe nicht wie man auf die Nullstellen kommt. | |
anonymous 12:09 Uhr, 26.03.2008 |
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Hallo, ich habe x^3 ausgeklammert und den sog. "Satz vom Nullprodukt" angewendet. Dieser besagt nichts anderes als die relativ einfache Weisheit, dass ein Produkt, also das Ergebnis einer Multiplikation, nur gleich Null sein kann, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Wenn man eine algebraische Gleichung faktorisieren kann, lässt sich dieser Satz anwenden, um die Lösungen der Gleichung "abzulesen". Beispiel: x^2-7*x+10=0 (x-2)*(x-5)=0 also x_1=2 und x_2=5, da die linke Seite ja auch gleich Null sein muss! Gruß, Diophant |
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| asooo ich hab jetzt x_4=4 auch rausbekommen, aber wenn ich das in die erste Ableitung einsetze kommt 0 raus. Ist das jetzt ein Tief- oder Hochpunkt? | |
anonymous 12:27 Uhr, 26.03.2008 |
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Hallo, Du setzt ja auch die 1. Ableitung gleich Null, wenn man dann das Ergebnis wieder einsetzt, was kommt dann wohl heraus? Wenn man die Art des Extremums durch Einsetzen bestimmen will, wäre eine hinreichende Bedingung "f''(X) größer Null" für einen Tiefpunkt "f''(x) kleiner Null" für einen Hochpunkt Oder eben der gezeigte Weg über den Vorzeichenwechsel. Gruß, Diophant |
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Danke nochmal für deine Hilfe. Ich hab die komplete Aufgabe jetzt gelöst!!!!! Gruß |
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