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sin^4 vereinfachen umschreiben zum integrieren.

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Tags: Funktion, Integral, Sinus

dennis98 aktiv_icon

02:59 Uhr, 13.09.2020

Hi Leute,

ich muss

\int ({sin}^{4} (x))

berechnen.

Als Tipp wurde mir gegeben:

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} (1 - cos (2 x))

.

Nun habe ich folgendes stehen:

\frac{{(1 - cos (2 x))}^{2}}{4}

Mit einem Online Rechnung wurde es sofort auf:

\frac{cos (4 \cdot x) - 4 \cdot cos (2 \cdot x) + 3}{8}

vereinfacht.

Das zu integrieren ist natürlich einfacher:-D)

Nun wollte ich Fragen ob mir das jemand mal zeigen könnte, wie man das so vereinfachen kann.
Also mit den Winkelfunktionen.

Mit freundlichen Grüßen

Dennis

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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08:06 Uhr, 13.09.2020

www.integralrechner.de

Respon

08:40 Uhr, 13.09.2020

{sin}^{4} (x) =

?
Also wenns nur um die Umformung geht

. .

.
Es gilt

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} \cdot (1 - cos (2 \cdot x))

\Rightarrow

{sin}^{2} (2 \cdot x) = \frac{1}{2} \cdot (1 - cos (4 \cdot x))

\frac{{(1 - cos (2 \cdot x))}^{2}}{4} = \frac{1 - 2 \cdot cos (2 \cdot x) + {cos}^{2} (2 \cdot x)}{4} = \frac{1 - 2 \cdot cos (2 \cdot x) + 1 - {sin}^{2} (2 \cdot x)}{4} =

= \frac{1 - 2 \cdot cos (2 \cdot x) + 1 - \frac{1}{2} \cdot (1 - cos (4 \cdot x))}{4} = \frac{2 - 4 \cdot cos (2 \cdot x) + 2 - 1 + cos (4 \cdot x)}{8} =

= \frac{cos (4 \cdot x) - 4 \cdot cos (2 \cdot x) + 3}{8}

ermanus aktiv_icon

10:03 Uhr, 13.09.2020

Hallo,
wenn man nicht den angegebenen Tipp verwenden möchte, bietet sich
z.B. partielle Integration an, zumal man dann eine
"Formel fürs Leben" erhält.
Sei dazu für natürliches

n

I_{n} = \int \sin^{n} (x) d x

.
Dann bekommt man mit partieller Integration
verhältnismäßig "rasch" die Rekursion

I_{n + 2} = \frac{1}{n + 2} ((n + 1) I_{n} - \sin^{n + 1} (x) \cos (x))

und

I_{0} = \int \sin^{0} (x) d x = \int 1 d x = x

.
Hieraus ergibt sich dann

I_{2}

und schließlich

I_{4}

.
Gruß ermanus

dennis98 aktiv_icon

14:23 Uhr, 13.09.2020

Vielen Dank für die Umformung!

Ich komm einfach manchmal zu sehr durcheinander, sodass man nicht weiß wo man was vereinfachen soll bzw. ob die "Vereinfachung" es wirklich einfacher macht oder nur schwerer :-D)

ledum aktiv_icon

13:46 Uhr, 14.09.2020

bitte hak ab, wenn erledigt.
ledum

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