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Differenzierbare Funktionen (Multiplikation)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Ableitung, Beweis, Funktion

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16:56 Uhr, 12.12.2018

Guten Tag,

Folgende Aufgabenstellung:

Seien

f, g : I \to ℝ

x \in I \subseteq ℝ

differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie:
Dann ist auch die Funktion

f \cdot g : I \to ℝ

in x differenzierbar und es gilt:

(f \cdot g) ʹ = f ʹ (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g ʹ (x)

Mein Ansatz:

Also wenn

f, g

differenzierbare Funktionen sind, dann muss ja gelte:

f ʹ (x) = a

und

g ʹ (x) = b

mit

a, b \in ℝ

Also könnte man sagen:

(f \cdot g) ʹ = a \cdot g (x) + b \cdot f (x)

f (x), g (x) \in ℝ

, gilt auch:

(f \cdot g) ʹ \in ℝ

Oder soll ich diese Formel überhaupt erst mal beweisen? Habe es auch mit der Grenzwertdefinition der Ableitung versucht aber komme damit nicht auf ein brauchbares Ergebnis.

Würde mich über Hilfe freuen!

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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pwmeyer aktiv_icon

18:12 Uhr, 12.12.2018

Hallo,

ja, Du musst diese Formel erstmal beweisen.

Ich halte übrigens die Schreibweise für höchst unglücklich: Differenzierbarkeit wird in einzelnen Punkten bewiesen, einen einzelnen festen Punkt pauschal

x

zu nennen, kann leicht zu Problemen führen.

Sagen wir, es geht um die Differenzierbarkeit in einem festen Punk

x_{0} \in I

und die Formel

(f \cdot g)' (x_{0}) = f' (x_{0}) \cdot g (x_{0}) + f (x_{0}) \cdot g' (x_{0})

Dazu musst du jetzt den Diffenzenquotienten für die linke Seite aufstellen und untersuchen. Schreib den mal hier auf - wenn Du nicht selbst weiter kommst.

Gruß pwm

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22:25 Uhr, 12.12.2018

lim_{h \to 0} \frac{(f \cdot g) (x_{0} + h) - (f \cdot g) (x_{0})}{h} = f ʹ (x_{0}) \cdot g (x_{0}) + f (x_{0}) \cdot g ʹ (x_{0})

\overset{}{\Leftrightarrow} lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) \cdot g (x_{0} + h) - f (x_{0}) \cdot g (x_{0})}{h} = f ʹ (x_{0}) \cdot g (x_{0}) + f (x_{0}) \cdot g ʹ (x_{0})

Also ich weiß, dass ich mir irgendwas "dazubasteln" muss, um auf Folgendes zu kommen:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) \cdot g (x_{0} + h) - f (x_{0}) \cdot g (x_{0})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \cdot g (x_{0}) + lim_{h \to 0} \frac{g (x_{0} + h) - g (x_{0})}{h} \cdot f (x_{0})

Mit der Formel

lim_{x \to x_{0}} \frac{(f \cdot g) (x) - (f \cdot g) (x_{0})}{x - x_{0}}

habe ich dies geschafft, aber mit der anderen Formel will ich irgendwie auf kein Ergebnis kommen, obwohl beide sich ja nicht wirklich unterscheiden, bzw. eigentlich ja identisch sind.
Nur um zu zeigen, wie ich es mit der anderen Formel geschafft habe, evt. kann ja Jemand das auf die andere Formel übertragen:

lim_{x \to x_{0}} \frac{(f \cdot g) (x) - (f \cdot g) (x_{0})}{h} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) \cdot g (x) - f (x_{0}) \cdot g (x_{0}) + f (x_{0}) \cdot g (x) - f (x_{0}) \cdot g (x)}{x - x_{0}}

= lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \cdot g (x) + \frac{g (x) - g (x_{0})}{x - x_{0}} \cdot f (x_{0})) = f ʹ (x_{0}) \cdot g (x_{0}) + g ʹ (x_{0}) \cdot f (x_{0})

Damit hätte ich es mit dieser Formel ja bewiesen. Würde mich über eine Antwort freuen!

EDIT. Daniel, der Ehrenbruder hat mir geholfen. Einfach auf YT suchen: "Herleitung Produktregel zum Ableiten, mit h-Methode, Differentialrechnung | Mathe by Daniel Jung" (Hoffe, dass dies erlaubt ist. Aber ist denke ich mal ganz nützlich für Leute mit dem selben Problem)

MfG

pwmeyer aktiv_icon

11:39 Uhr, 13.12.2018

Hallo,

ja, Deine letzte Überlegung ist richtig. Du kannst sie auch auf die h-Variante übertragen, indem Du

x

durch

x_{0} + h

ersetzt.

Gruß pwm

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