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Extremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis...

Schüler Berufsfachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialrechnung, Dreieck, Extremwert, Extremwertaufgabe, Infinitesimalrechnung, Phytagoras

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klingt-net

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16:07 Uhr, 14.06.2010

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"Finden sie durch Lösen der Extremwertaufgabe das Dreieck in einem Halbkreis mit dem Durchmesser als Hypotenuse, das maximalen Flächeninhalt hat. Wie groß ist dieser?"

Mein aktueller Stand:

$H a u p t b e d i n g u n g : A = \frac{a b}{2}; a = \frac{d}{2}; A = \frac{d b}{4} N e b e n b e d i n g u n g : c^{2} = d^{2} = a^{2} + b^{2}; d^{2} = {(\frac{d}{2})}^{2} + b^{2}; b = \sqrt{d^{2} - {\frac{d}{4}}^{2}} Z i e l f u n k t i o n : A = \frac{d * (d^{2} - {\frac{d}{4}}^{2})}{4}; A = \frac{{3 d}^{3}}{16}; 1. A b l e i t u n g : A (d) = \frac{9 d^{2}}{16}$

Irgendwie fehlt da eine Konstante, die Nullstellen der ersten Ableitung sind 0, was warscheinlich nicht die maximale Fläche wiederspiegeln würde. Ich komm mit der Aufgabenstellung einfach nicht zurecht, wer kann helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:45 Uhr, 14.06.2010

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Also ich würde mir das ganz einfach machen. Der Flächeninhalt berechnet sich über

A = \frac{c \cdot h_{c}}{2}

wobei

c

fest gegeben ist. Also ist die Fläche dann am größten, wenn die Höhe auf

c

am größten ist und das ist logischerweise dann der Fall wenn

h_{c}

gleich dem Radius des Kreises ist. Also bei dem gleichschenklig, rechtwinkligen Dreieck. Die Fläche dieses Dreiecks ist dann

A_{max} = \frac{2 r \cdot r}{2} = r^{2}

Der schwerere Weg wäre:
HB:

A (a; b) = \frac{a \cdot b}{2}

NB: Über Pythagoras gilt

a^{2} + b^{2} = {(2 r)}^{2} = 4 r^{2} \Leftrightarrow b = \sqrt{4 r^{2} - a^{2}}

ZF:

A (a) = \frac{a \cdot \sqrt{4 r^{2} - a^{2}}}{2}

Die Quadratsfunktion hat die selben Extremstellen:

{[A (a)]}^{2} = E (a) = \frac{1}{4} a^{2} \cdot (4 r^{2} - a^{2}) = \frac{1}{4} \cdot (4 a^{2} r^{2} - a^{4})

E' (a) = \frac{1}{4} \cdot (8 a r^{2} - 4 a^{3}) = 0

8 a r^{2} = 4 a^{3}

8 r^{2} = 4 a^{2}

2 r^{2} = a^{2}

\sqrt{2} r = a

\Rightarrow b = \sqrt{4 r^{2} - a^{2}} = \sqrt{4 r^{2} - 2 r^{2}} = \sqrt{2 r^{2}} = \sqrt{2} r

A_{max} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{\sqrt{2} r \cdot \sqrt{2} r}{2} = \frac{2 r^{2}}{2} = r^{2}

Kommt also das selbe raus

Frage beantwortet

klingt-net

klingt-net aktiv_icon

18:36 Uhr, 14.06.2010

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Danke für die schnelle Antwort, habe beide Varianten nun verstanden. Weg 1 ist wirklich ausgesprochen raffiniert, manchmal liegt das einfache so nah.

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

18:37 Uhr, 14.06.2010

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Gern geschehen.

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