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Integral von sin^2(x)

Universität / Fachhochschule

Integration

Komplexe Zahlen

Tags: e-Funktion, Exponentialfunktion, Integral, Integralfunktion, Integration, Komplexe Zahlen, Sinus

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20:59 Uhr, 05.08.2017

Hallo,

ich habe heute versucht das Inegral von

{sin}^{2} (x)

aus seiner Exponentialform herzuleiten und war sichtlich verwirrt. Ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung.

Ich habe so gerechnet:

sin (x) = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})

Also gilt:

{sin}^{2} (x) = {(\frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}))}^{2} = - \frac{1}{4} \cdot {(e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})}^{2}

Jetzt nach der Kettenregel integrieren:

\int - \frac{1}{4} \cdot {(e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})}^{2} d x = - \frac{1}{4} \cdot {(e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})}^{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{i \cdot e^{i \cdot x} + i \cdot e^{- i \cdot x}}

Dann noch umstellen:

= - \frac{1}{4} \cdot {(e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})}^{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}) \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x}}

= {sin}^{2} (x) \cdot sin (x) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{cos (x)}

= \frac{{sin}^{3} (x)}{3 \cdot cos (x)}

Leider ist das Ergebnis komplett falsch. Nur warum? Wo habe ich den Fehler übersehen?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Integralfunktion
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

21:59 Uhr, 05.08.2017

Nach Kettenregel leitet man ab, was ist eine Kettenregel bei Integration?
Und sonst ist überhaupt nicht klar, was Du denn machst. Und vor allem - warum?
Dieser Weg ist doch mit Sicherheit unnötig lang.

DrBoogie aktiv_icon

22:06 Uhr, 05.08.2017

Wenn schon über Exponente gehen, dann zumindest vernünftig: