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Krümmungsverhalten anhand der 3.Ableitung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Graph, Krümmungsverhalten

vfl-dejan aktiv_icon

22:31 Uhr, 19.08.2009

Hallo kann jemand anhand eines Beispiels präzise Demonstrieren wie ich das Krümmungsverhalten eines Graphen anhand der 3. Ableitung bestimmen kann?

Vielen Dank im vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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23:43 Uhr, 19.08.2009

Die 3. Ableitung einer Funktion

f

ist das Fundament dafür, ob überhaupt ein WP vorliegt. Wird dabei die Bedingung

f''' (x) \neq 0

erfüllt, dann liegt auf jeden Fall ein WP bzw. ein Sattelpkt.(spezieller WP) vor . Mit dem Wert der 3. Ableitung

\neq 0

kann man die Krümmung der Krümmung dann bestimmen. Maßgebend ist jedoch das Vorzeichen der 2. Ableitung, welche Art von Krümmung vorliegt. Allgemein gilt:

- f'' (x_{0}) > 0 \Rightarrow

es liegt eine "Linkskrümmung"( Maximum der Fkt.) vor

- f'' (x_{0}) < 0 \Rightarrow

es liegt eine "Rechtskrümmung"( Minimum der Fkt.) vor
Will man aber jetz wissen, ob die Fkt.

f

im WP von einer Links- in eine Rechtskrümmung oder andersrum geht, dann kommt die

f''' (x_{0})

in Frage.
Wenn man dann die Wendestellen

x_{0}

in die

f'''

einsetzt, dann kann man darüber Auskunft geben, wie sich die Fkt.

f

an dieser Stelle verhält. Allgemein gilt:

- f''' (x_{0}) > 0 \Rightarrow

liegt eine Rechts-Links-Krümmung vor

- f''' (x_{0}) < 0 \Rightarrow

liegt eine Links-Rechts-Krümmung vor.
Versuch es dochmal mit der Fkt.

\Rightarrow f (x) = \frac{1}{9} \cdot x^{4} - x^{2}

Viel Spass!

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