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e-Funktion Ableiten

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e-Funktion, Exponentialfunktion, Faktorregel, Kettenregel, Produktregel

Aizen aktiv_icon

23:39 Uhr, 07.12.2014

Hallo Liebe Leute,
ich habe ein richtiges Problem, ich schreibe am Dienstag eine Mathe-Klausur. Unser Thema ist zurzeit e-Funktion, wir arbeiten eig. nur mit dem CAS, das ist ein Taschenrechner der einem das schon ausrechnet etc. Ich habe jetzt ein Problem, ich habe den CAS nie gekauft und das ist die erste Klausur die abhängig an diesem Taschenrechner ist. Wir haben das nie gelernt schriftlich auszurechnen. Ich versuche zurzeit selber das mit den e-Funktionen zu verstehen, größtenteils geht es. Wir haben die Faktorregel und Produktregel nicht besprochen, ich versuche es selbstständig zu lernen. Bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter.
Die Aufgabe lautet:

h (t) = 2 \cdot t^{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2} t)} < - -

OHNE Klammer hinter

e,

mit Klammer kommt eine falsche Darstellung
Diese sollen wir ableiten, ich schaffe es nicht auf die Lösung meines Lehrers zu kommen.
Wie kommt man darauf hin, eine Schritt für Schritt Lösung wäre sehr hilfreich.
Die Lösung vom Lehrer lautet

h´(t)=

(- t^{2} + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{2} t} < - -

OHNE Klammer hinter

e,

mit Klammer kommt eine falsche Darstellung

h

(t) = (\frac{t^{2}}{2} - 4 t + 4) \cdot e^{- (\frac{1}{2} t)} < - -

OHNE Klammer hinter

e,

mit Klammer kommt eine falsche Darstellung

h

(t) = (- \frac{t^{2}}{4} + 3 t - 6) \cdot e^{- (\frac{1}{2} t)}

hier auch ohne Klammer hinter

e

Ich bedanke mich für JEDE Antwort.
MfG
Aizen

P . S

. Ich besuche die 12te Klasse eines Gymnasiums.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
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Extrema / Terrassenpunkte

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asg-2014 aktiv_icon

01:06 Uhr, 08.12.2014

Hallo Aizen,

du musst hier die Produktregel beim Ableiten anwenden, da die Funktion

h (t)

ein Produkt bestehend aus zwei Termen ist:

1. Term:

2 \cdot t^{2}

2. Term:

e^{- \frac{1}{2} t}

Die Produktregel allgemein lautet ja:

f' (x) = u' \cdot v + u \cdot v'

Hier ist:

u = 2 \cdot t^{2}

und

v = e^{- \frac{1}{2} t}

Die Ableitungen von

u

und

v

sind:

u' = 4 \cdot t

Da es sich bei

v

um eine Verkettung bestehend aus einer inneren Funktion

r

und eine äußere Funktion

s

handelt handelt, muss hier zum Ableiten zunächst die Kettenregel angewendet werden.

r = - \frac{1}{2} t

s = e^{- \frac{1}{2} t}

Die Ableitungen davon sind:

r' = - \frac{1}{2}

s' = e^{- \frac{1}{2} t}

Die Kettenregel lautet: Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion, also:

v' = r' \cdot s'

v' = - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

Also, nun kannst du die Ableitung von

h (t)

zusammensetzen gemäß der Produktregel:

h' (t) = 4 \cdot t \cdot e^{- \frac{1}{2} t} + 2 \cdot t^{2} \cdot - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

Nun wenn wir

e^{- \frac{1}{2} t}

ausklammern:

h' (t) = (4 \cdot t + 2 \cdot t^{2} \cdot (- \frac{1}{2})) \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

und kürzen:

h' (t) = (4 t - t^{2}) \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

leicht umformen:

h' (t) = (- t^{2} \cdot 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

Für weitere Beispiele und Regeln zu e-Funktion kannst du Videos auf YouTube anschauen:
www.youtube.com/watch?v=aOkdgxulw60
www.youtube.com/watch?v=Pst8a3mP1AQ

Hoffe, ich konnte dir helfen.

Viele Grüße

Asg

Ma-Ma aktiv_icon

01:11 Uhr, 08.12.2014

@asg: Sachlich korrekt, aber für Schüler viel zu umständlich und schwer dargestellt

...

asg-2014 aktiv_icon

01:15 Uhr, 08.12.2014

Hallo Ma-Ma,

fehlt da ein Smiley :-), du meinst wohl zu ausführlich?

Viele Grüße

Asg

Ma-Ma aktiv_icon

01:20 Uhr, 08.12.2014

Begrifflichkeit Verkettung ist in der

11

. Klasse noch nicht bekannt.
(Wird meist erst im Studium eingeführt.)
Du argumetierst auf Hochschulniveau, nicht auf Schulniveau

... .

.

Eher innere mal äußere Ableitung

. .

asg-2014 aktiv_icon

01:26 Uhr, 08.12.2014

Achsooo, gut dass du darauf hingewiesen hast.

Danke!

Atlantik aktiv_icon

11:37 Uhr, 08.12.2014

h (t) = 2 \cdot t^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} t} = \frac{2 \cdot t^{2}}{e^{\frac{1}{2} t}}

mit der Quotientenregel abgeleitet:

u = 2 t^{2} \to u

= 4 \cdot t

v = e^{\frac{1}{2} t} \to v

= e^{\frac{1}{2} t} \cdot \frac{1}{2}

(äußere Ableitung mal innere Ableitung)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Quotientenregel:

[\frac{u}{v}]

= (u

\cdot v - u \cdot v

´ ) alles geteilt durch

v^{2}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

[h (t)]

= \frac{4 \cdot t \cdot e^{\frac{1}{2} t} - 2 \cdot t^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} t} \cdot \frac{1}{2}}{{(e^{\frac{1}{2} t})}^{2}} = \frac{4 \cdot t - t^{2}}{e^{\frac{1}{2} t}}

(im Kopf ausgeklammert und gekürzt)

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:44 Uhr, 08.12.2014

Empfehlenswert, da mit Erklärungen versehen:

http//www.ableitungsrechner.net/

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

16:25 Uhr, 08.12.2014

@asg-2014

"

h

(t) = (- t^{2} \cdot 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

"

Da hat sich ein Fehler eingeschlichen.

mfG

Atlantik

Aizen aktiv_icon

17:00 Uhr, 08.12.2014

an sich habe ich das recht gut verstanden, außer das mit dem ausklammern, wieso hast du

\frac{1}{2}

ausgeklammert, was hat das es gebracht, wieso hast du das gemacht?

Wenn jetzt eine Zusatzaufgabe dazu kommt

z . B

.
Berechnen Sie den Wasserstand 2 Tage nach Beginn des Anstiegs.
Wie kriege ich das raus ?
setze ich die die 2 für

t

ein oder ?
evt. kann bzw. möchte mir jemand die 2te Ableitung erklären, damit sich die Schritte nochmals logisch ergeben und ich 2 Beispiele hätte. Das würde mich sehr weit bringen.

asg-2014 aktiv_icon

17:12 Uhr, 08.12.2014

Hallo zusammen,

@Atlantik, du hast Augen wie ein Adler :-)
Stimmt, es muss

+

sein

h' (t) = (- t^{2} + 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t}

@Aizen
Ich habe

- \frac{1}{2}

in Klammern gesetzt, damit es noch klarer ist, dass es nicht subtrahiert werden darf.
So erkennst du es sofort, dass es ein Faktor ist und du kannst die

2

im Nenner mit der

2

vor

t^{2}

kürzen.

Viele Grüße

Asg

Aizen aktiv_icon

18:14 Uhr, 08.12.2014

Die Quotientenregel verstehe ich am besten, das einzige Problem, welches ich noch habe ist, wie haben Sie das gekürzt?
MfG
Aizen

Atlantik aktiv_icon

06:33 Uhr, 09.12.2014

h

(t) = \frac{4 \cdot t \cdot e^{\frac{1}{2} t} - 2 \cdot t^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} t} \cdot \frac{1}{2}}{{(e^{\frac{1}{2} t})}^{2}} = \frac{4 \cdot t \cdot e^{\frac{1}{2} t} - t^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} t}}{{(e^{\frac{1}{2} t})}^{2}} = \frac{e^{\frac{1}{2} t} \cdot (4 t - t^{2})}{{(e^{\frac{1}{2} t})}^{2}} = \frac{4 t - t^{2}}{e^{\frac{1}{2} t}}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

u = 4 t - t^{2} \to u

= 4 - 2 t

v = e^{\frac{1}{2} t} \to v

= e^{\frac{1}{2} t} \cdot \frac{1}{2}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

h

´ ´

(t) = \frac{(4 - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} t} - (4 t - t^{2}) \cdot e^{\frac{1}{2} t} \cdot \frac{1}{2}}{{(e^{\frac{1}{2} t})}^{2}} = \frac{(4 - 2 t) - (4 t - t^{2}) \cdot \frac{1}{2}}{e^{\frac{1}{2} t}} = \frac{4 - 2 t - 2 t + \frac{1}{2} t^{2}}{e^{\frac{1}{2} t}} =

= \frac{4 - 4 t + \frac{1}{2} t^{2}}{e^{\frac{1}{2} t}}

Viel Erfolg bei deiner Arbeit!!

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

06:33 Uhr, 09.12.2014

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