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suche Gerade, die Fläche einer Parabel halbiert
Schüler Berufsschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Flächeninhalt, Gerade, Integral, Parabel
 
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Hai, Ich schreibe am Dienstag eine Klassenarbeit über Integralrechnung. Gerade bin ich ein paar Aufgaben dafür nochmal druchgegangen. Dabei haben sich mir noch ein paar Wissenslücken aufgetan und ich konnte . diese Aufgabe nicht lösen: Die Parabel schneidet die Geraden an 2 Stellen und schließt eine Fläche ein. Welche Parallele zur x-Achse würde diese Fläche halbieren ? Was ich bereits rausbekommen habe ist, dass die Fläche von 0 bis 3 (entspricht den Integrationsgrenzen der halben Fläche) FE ergibt. Denn: 18FE Und jetzt muss ja eine Gerade suchen die, die Fläche von auf 9 halbiert. =(x^3)/3-zx]_0^b = (b^3/3)-zb Und da ist und muss doch auch sein, oder ? Aber dann wäre ja und kann es ja nicht sein. Findet ihr meinen Fehler ? Dann hätte ich noch was anderes. Mag zwar jetzt eine dumme Frage sein aber alle Parabeln die bei einen negativen Koeffizienten davor haben sind doch nach unten geöffnet, oder ? Dann wollt ich noch fragen wie ich generell am besten vorgehe wenn ich die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen soll. Man muss doch eig auch immer die Nullstellen berechnen und schauen wo welche Art der Extrema ist, oder ? Ich bedanke mich schonmal im voraus! Mit freundlichen Grüßen Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff) Parabel (Mathematischer Grundbegriff) Quadratische Ergänzung Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Flächeninhalte Flächenmessung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis: Umfang und Flächeninhalt Ebene Geometrie - Einführung Flächeninhalte Flächenmessung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis: Umfang und Flächeninhalt |
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Warum integrierst du denn von 0 bis 3 statt von bis 3? |
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Ich dachte das macht die Sache etwas einfacher. ;-) MfG |
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Achso, verstehe. :-) Du hast vergessen die rechte Seite der letzten Gleichung für in Betrag zu nehmen. Wenn du das gemacht hast, kannst du nach auflösen und daraus das bestimmen. |
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Tut mir leid. Ich verstehe nicht ganz, was du meinst mit "rechte Seite der letzten Gleichung in Betrag zu nehmen". Könntest du mir villeicht nochmal auf die Sprünge helfen ? MfG |
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Naja, da steht bei dir und das dürfte für ein positives negativ werden. Es soll aber deine Fläche von 9FE sein. Also entweder du lässt das Integral oben negativ (und kriegst statt der 18FE für die Gesamtfläche raus) oder du nimmst auch den Ausdruck für die halbierte Fläche in Betrag. |
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Ja, stimmt. Oh man gerade merk ich ja, dass ich nur zu blöd gewesen bin die Gleichung richtig aufzulösen :-D) Da kommt dann nacher . raus und das Ergebnis dann in eingesetzt komm ich auf . Dann kann ich integrieren und ich komme auf meine bzw. 9 FE. Also die Hälfte ;-) Gut, vielen Dank schonmal dafür! Wie schauts denn mit meinen anderen beiden Fragen aus, kann mir dazu noch jemand was sagen oder was emofehlen, wie ich halt beim Errechnen von einer Fläche zwischen zwei Funktionen am besten vorgehe ? Weil ich darf ja in der Klassenarbeit kein Handy oder Taschenrechne benutzen bei dem ich sehen kann wie die Funktionen aussehen. MfG |
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Zu den beiden anderen Fragen: Ja, Parabeln mit einem negativen Vorzeichen vor dem quadratischen Term sind nach unten geöffnet. Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, integrierst du den Betrag der Differenz zwischen ihnen, also Durch den Betrag ist es egal welche Funktion oben und welche unten ist, die Fläche kommt immer positiv raus. Die Integrationsgrenzen sind die beiden Schnittpunkte der beiden Funktionen. Sollte es mehr als zwei Schnittpunkte geben, dann muss man zwischen jeden zwei benachbarten Schnittpunkten getrennt integrieren. |
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Okay, aber was ist wenn die Funktion/en durch die Abszisse gehen. Muss ich dann nicht eig auch noch immer die Extremwerte errechnen und schauen wo ein Maximum oder Minimum ist. Bzw. wie die Funktion genau verläuft ? Oder kann man eig stur nach dem Schema vorgehen: Schnittpunke von zwei Funktionen bestimmen und einfach integrieren von einem Schnittpunkt bis zum Andern ? Denn die Nullstellen sind doch eig auch ziemlich wichtig, oder ? Ich bedanke mich wieder im voraus für jede Antwort ;-) MfG |
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Wie würdest du denn die Extrema und Nullstellen der beiden Funktionen verwenden wollen? |
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Ja, wenn es durch die X-Achse geht muss ich ja von dort an neu integrieren. Die Extrema sagen mit dann ob es ein Min oder Max ist. Wobei ich, dass ja eig gar nicht wissen müsste, oder ? MfG |
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Nee, musst du nicht. :-) Und was die Nullstellen angeht, deine Schnittpunkte sind ja gerade die Nullstellen von . Die Nullstellen der einzelnen Funktionen und sind aber unnötig - du integrierst ja nicht über die einzelnen Funktionen sondern über die Differenz |
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Versteh ich irgendwie nicht ganz. Kannst du dies bitte nochmal etwas genauer erklären ? MfG |
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Wo spaltet man ein Integral auf? An den Punkte, wo die zu integrierende Funktion Null wird, also an ihren Nullstellen. In unserem Fall ist die zu integrierende Funktion aber also brauchen wir die Nullstellen von und nicht die der einzelnen Funktionen und . Die Nullstellen von sind aber die Punkte, die oder, was das Gleiche ist, erfüllen, also die Schnittpunkte von und . |
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Bin mir immer noch nicht ganz sicher ob ich alles so ganz verstanden habe. Das ich hier ja keine Nullstelle habe ist mir bewusst und das die Nullstellen von die Schnittpunkte wäre denke ich auch. Aber angenommen ich habe zwei Funktionen wie diese: und Nun möchte ich die eingschlossene Fläche dieser beiden Funktionen berechnen. Dann müsste ich doch die Schnittpunkte von beiden Flächen berechnen und und auch die Nullstellen. Dann würde ich feststellen, dass ich einmal von bis integrieren müsste und die andere eingeschlossene Fläche müsste ich doch auch in zwei Flächen unterteilen und einzeln integrieren. Schließlich geht die Fläche durch die Abszisse und es gibt somit natürliche Nullstellen. Oder hab ich da was falsch verstanden ? MfG Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt: |
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Hey Leute, kann mir wirklich niemand dabei helfen ? Ich bin mir nicht sicher ob ich diesen Part der Integralrechnung richtig verstanden habe und möchte es daher wirklich gerne wissen :-) Über Hilfe wäre ich wirklich sehr erfreut! ;-) Mit freundlichen Grüßen |
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Nein, die zweite Fläche kannst du in einem Wisch integrieren. Siehe Zeichnung: ist in Rot. Die Nullstellen von entsprechen den Schnittpunkten von mit . Die Nullstellen von und allein brauchen nicht berücksichtigt zu werden. Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt: |
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Das versteh ich aber nicht. Ich müsste doch von den Nullstellen von integrieren. So habe ich es doch auch immer bei den anderen Funktionen gemacht. MfG |
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Hast du dich schon mal gefragt, warum man Integrale eigentlich bei den Nullstellen des Integranden aufspaltet? |
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Also ich weiß nicht einmal was ein Integrand ist. Daher wohl eher nicht. Vielleicht könntest du mir auch das kurz erklären ? MfG |
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Der Integrand ist das, was integriert wird, also in diesem Fall . |
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Also, ich dachte man integriert von dort an, weil sich sonst die Flächen durch unterschiedliche Vorzeichen aufheben und somit das Ergebnis verfälschen. MfG |
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Richtig! Und wie ist das, wenn der Integrand wie in diesem Fall die Differenz zweier Funktionen ist? Welche Rolle spielen hier die Nullstellen der einzelnen Funktionen? Wenn du dir das Bild anschaust, dann ist zwischen A und (oder und . Zwischen und (oder und ist . Bei ist also ein Vorzeichenwechsel von . Aber bei der Nullstelle von (oder allein ist nichts Besonderes los, das Vorzeichen von von ist kurz davor und kurz danach das gleiche. Warum sollte diese Nullstelle also ein Punkt sein, bei dem man das Integrationsintervall splitten sollte? |
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Also so hab ich das noch nie betrachtet. Also das die eine Funktion größer ist als die andere ;-) Aber trotz allem verstehe ich noch immer nicht wirklich weshalb, ich nacher von nach integrieren muss. Über weitere Hilfe wäre ich natürlich sehr dankbar und würde mich wirklich sehr freuen! MfG |
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Was genau verstehst du denn nicht? Versuche doch eine konkrete Frage zu stellen. |
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Hat sich geklärt, trotzdem danke für deine Hilfe. ;-) Auch wenn es etwas spät kommt. :-) MfG |
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