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Tangente und Normale an Exponentialfunktion

Schüler Berufskolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Ableitungsregeln, e-Funktion, Exponentialaufgaben, Exponentialfunktion, Normal, Tangent, Tangentengleichung

Julycious aktiv_icon

20:18 Uhr, 20.01.2010

Hallo Ihr Checker,

ich hab ne Frage zu einer meiner Mathematik-Aufgaben, hinsichtich einer Tangente und einer Normalen an einer E-Funktion.

Die Frage lautet lt. Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion

f (x) = e^{2 x} - 2;

x 0 = 0

Zeichnen Sie Kf, Tangente und Normale in ein Koordinatensystem ein.
Bestimmen Sie die Gleichung von Tangente und Normale an Kf an der Stelle

x 0

.

Hinweis: Ich bin mit Ableitungen vertraut, weiss jedoch nicht wie ich einfach und schnell (und ich weiss das das geht, die Aufgabe scheint nicht allzu schwer zu sein), an die Tangenten- und Normalengleichung bekomme.

Unser Lehrer gibt uns folgendes Schema vor:

1. Funktion in GTR eingeben und anschauen, Nullstellen berechnen, Schaubild zeichnen (e-Funktion), dann die Tangentengleichung aufstellen, danach die Normale.

Bitte erklärt mir mal jemand Schritt für Schritt wie ich hier vorgehen muss?!

Vielen lieben Dank!

(&

ich bitte auch, Zwischenschritte nicht unbedingt für sich zu behalten

; D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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pleindespoir aktiv_icon

20:23 Uhr, 20.01.2010

1. Ableitung bilden.

2.

x_{0}

in Funktion und Ableitung einsetzen.

Damit bekommst du die Koordinaten des Punktes an der Stelle

x_{0}

und die Steigung in diesem Punkt.

3. aus Punkt und Steigung kann man leicht eine Geradengleichung ermitteln.

hier bei x=0 ist das besonders unkompliziert!

Julycious aktiv_icon

20:51 Uhr, 20.01.2010

1. Ableitung bilden:

f (x) = e^{2 x} - 2

ergibt

f' (x) = 2 e^{x}

x 0

in Funktion und Ableitung einsetzen.

Einsetzen in Funktion

f (x) = e^{2 x} - 2

f (0) = e^{2 \cdot 0} - 2

f (0) = - 1

Einsetzen in Ableitung

f' (x) = 2 e^{x}

f' (0) = 2 e^{0}

f' (0) = 2

Ist das dann richtig so?

Welches Ergebnis ist nun welche Koordinate und woran erkenne ich die Steigung?
Die Geradengleichung lautet ja:

y = m \cdot x + b

pleindespoir aktiv_icon

22:19 Uhr, 20.01.2010

f (x) = e^{2 x} - 2

f ʹ (x) = 2 \cdot e^{2 x}

y_{0} = f (x_{0})

y_{0} = e^{0} - 2

y_{0} = - 1

Das sind mal die Koordinaten des Punktes, an den die Tangente gelegt werden soll!

f ʹ (x) = 2 \cdot e^{2 x}

m = f ʹ (x_{0})

m = 2 \cdot e^{0}

m = 2

Trotz Deines Ableitungsfehlers ist Dein Ergebnis richtig...

Jetzt die Koordinaten und die Steigung in die Tangentengleichung einsetzen:

g (x) = m x + b

y_{0} = m \cdot x_{0} + b

- 1 = 2 \cdot 0 + b

b = - 1

g (x) = 2 x - 1

Julycious aktiv_icon

14:18 Uhr, 21.01.2010

Okay, ich würde mal den Punkt

x 0

ändern und zwar in

x 0 = 3,

könntest du mir die Aufgabe mal vorrechnen? Also:

Funkton:

f (x) = e^{2 x} - 2; x 0 = 0

Ableitung:

f' (x) = 2 e^{2 x}

Ich krieg die Berechnung für die Steigung nicht hin

: (

Und erst recht nicht für die Normale!

: (

valik18 aktiv_icon

16:35 Uhr, 21.01.2010

du must einfach in

f (3)

einsetzen dann kriegst du deinen y-wert raus dann hast du

z . B :

deinen Punkt A(3/?) ?=y wert denn du ausrechnest

dann setzt du

f' (3) =

hast du deine Steigung an der stelle

x = 3

dann setzt du ales in y=mx+b und rechnest dein

b

aus

?=steigung mal

3 + b

stellst alles nach

b

um

dann

Y=steigung mal

x +

dein

b

jetzt hast du die steigung der Tangente

bei der Normalen must du einfach den negativen umkehr wert der Steigung nehmen

z . B :

wenn

f' (3) = 2

(auch

\frac{2}{1})

ist dann ist die Steigung der Normalen

- \frac{1}{2}

jetzt machst du das selbe nochmal rechnen dein

b

mit der Steigung

- \frac{1}{2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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