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Definitions und Wertebereich einer Funktion

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Definitionsbereich, Exponentialfunktion, Funktion, Sinus, Sinusfunktion, Wertebereich

Pascal9 aktiv_icon

19:16 Uhr, 28.09.2023

Wie bestimme ich von dieser Funktion die Definitionsbereich und den Wertbereich?
Wie kann ich erkennen ob diese Funktion stetig ist?

f (x) = 7 \cdot e (x) \cdot 3 \cdot e (x^{2} - 1) \cdot 8 \cdot sin (x^{- 0,5} - 1) + 2 \cdot ln (x^{3} + 1)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Stochastikerin

21:37 Uhr, 28.09.2023

Ich verweise gerne auf das Forum:

〉

Definitionsbereich: www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Definitionsbereich

〉

Wertebereich: www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Wertemenge

In einfachen Worten:

〉

Definitionsbereich: Alle Zahlen (Für die Schule gilt meistens alle

x \in ℝ),

welche du in die Funktion einsetzen darfst, um auch ein valides Ergebnis zu bekommen.

Beispiel:

f (x) = x^{2} \to

Hier darfst du für

x

alles einsetzen. Natürliche, Ganze, Rationale, Irrationale Zahlen.
Beispiel:

f (x) = \sqrt{x} \to

Hier darfst du für

x

nur positive Zahlen (und die

0)

einsetzen (Sofern wir uns in

ℝ

befinden)

〉

Wertebereich: Alle Zahlen (Für die Schule gilt meistens alle

x \in ℝ),

welche du rausbekommst, wenn du ein beliebiges

x

einsetzt.

Beispiel:

f (x) = x^{2} \to

Hier bekommst du nur positive Zahlen raus, egal, welches

x

du einsetzt
Beispiel:

f (x) = - (x^{2}) \to

Hier bekommst du nur negative Zahlen raus, egal welches

x

du einsetzt

Wichtig: Beim Bestimmen des Definitions- und Wertebereichs geht es nicht darum, explizit gewisse Zahlen zu nennen. Es geht darum, ganze Mengen ("Bereich") zu nennen, wie eben die positiv reellen Zahlen

o

.ä.
oder im Umkehrschluss:
Zahlen ausgrenzen:

f (x) = \frac{1}{x} \to

Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer die 0

〉

Zu deiner Funktion: Hast du einfach mal alle mathematischen Begriffe, die du so kennst, zusamengewürfelt?

f (x) = 7 \cdot e^{x} \cdot 3 \cdot e^{x^{2} - 1} \cdot 8 \cdot sin (x^{0.5} - 1) + 2 \cdot ln (x^{3} + 1) = 168 \cdot e^{x^{2} + x - 1} \cdot sin (x^{0.5} - 1) + 2 \cdot ln (x^{3} + 1)

Definitionsbereich: Mach dich für die einzelnen Faktoren und Summanden schlau
Wertebereich: Mach dich für die einzelnen Faktoren und Summanden schlau

calc007

23:05 Uhr, 28.09.2023

Stochastikerin hat dir schon gut geraten.
Nur eine Kleinigkeit / Lapsus / Korrektur / Leichtsinnsfehlerchen, einfach dass du dich nicht verwirren lässt:
in der Sinus-Funktion bleibt's natürlich stets bei:

sin (x^{- 0.5} - 1)

Randolph Esser aktiv_icon

01:15 Uhr, 29.09.2023

Zunächst fasse ich zusammen

7 \cdot e^{x} \cdot 3 \cdot e^{x^{2} - 1} \cdot 8 \cdot sin (\frac{1}{\sqrt{x}} - 1) + 2 \cdot ln (x^{3} + 1)

= 168 \cdot e^{x^{2} + x - 1} \cdot sin (\frac{1}{\sqrt{x}} - 1) + 2 \cdot ln (x^{3} + 1)

und ich gehe mal von einer reellwertigen Funktion aus.

Definiert ist die Funktion dann für alle

x \in R,

für die

x^{3} + 1 > 0

(wegen dem

ln)

und

x > 0

(wegen der Wurzel als Nenner) gilt,

(der Rest ist schon unproblematisch auf ganz

R

definiert),

also für alle

x \in] 0, \infty [

f :] 0, \infty [\to R, x \mapsto 168 \cdot e^{x^{2} + x - 1} \cdot sin (\frac{1}{\sqrt{x}} - 1) + 2 \cdot ln (x^{3} + 1)

ist stetig, da Zusammensetzung stetiger Funktionen.

Die exakte Bildmenge von

f

lässt sich dann allerdings schon nicht mehr

so einfach bestimmen, nur, dass

lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty

und

f (] 0, \infty [) \subset] - \infty,168 \cdot e + ln (4)],

kann ich auf die Schnelle angeben.

HAL9000

09:52 Uhr, 29.09.2023

@Kartoffelkäfer

Intuitiv sowie auch bei Betrachtung des Graphs der Funktion ist klar, dass die Funktion für

x \geq 1

(sogar schon weit vorher beginnend) streng monoton fällt, d.h., dass die schwach wachsenden Werte

2 \ln (x^{3} + 1)

durch den vorderen stark fallenden Term mehr als kompensiert werden. Aber exakt mathematisch begründet werden muss es dennoch. Hat man dies getan, so ist deine angegebene obere Schranke

168 e + \ln (4)

unmittelbar klar.

Wie erwartbar liegt die eigentliche globale Maximumstelle kurz nach der letzten Maximumstelle des Sinus, d.h. jenes

x_{1}

mit

\frac{1}{\sqrt{x_{1}}} - 1 = \frac{π}{2}

umgestellt

x_{1} = \frac{1}{{(1 + \frac{π}{2})}^{2}} \approx 0.15

. Die Maximumstelle der Gesamtfunktion

x_{M} \approx 0.178

mit Funktionswert

f (x_{M}) \approx 74.7

ist dann allerdings nur über Näherungsverfahren ermittelbar.

Randolph Esser aktiv_icon

14:16 Uhr, 29.09.2023

Ja, so habe ich es auch bestimmt, ich hab es nur nicht hingeschrieben:

Funtion auf

] 1, \infty [

immer krasser fallend, wie man leicht an der Ableitung sieht und auf

[0,1]

abgeschätzt.

Das globale Maximum zu finden, habe ich mir dann geschenkt.

Deine Aussage bestätigt ja meine Befürchtung, dass das nicht so einfach ist.

Und müssen tu ich hier garnichts. Meine Angaben zur Bildmenge

sollten nur eine erste Eröffnung eines Diskurses hier sein,

mehr nicht...

HAL9000

17:12 Uhr, 29.09.2023

> Und müssen tu ich hier garnichts.

Jedenfalls "musst" du das nicht gleich als Vorwurf verstehen, denn so war es nicht gemeint. Ich hab den Nachweis ja auch nicht erbracht - also wenn dir das besser gefällt, dann war es ein Vorwurf an mich selbst. ;-)

Randolph Esser aktiv_icon

06:58 Uhr, 30.09.2023

Sado-Maso...

Ja nö, schon gut, aber insgesamt denke ich einfach,

dass dieser Thread es einfach nicht wert ist,

dass man sich da jetzt irgendwie voll reinhängt.

Dafür müsste sich der Fragesteller

z . B

. auch erst nochmal melden...

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