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Nullstellen einer Sinusfunktion bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktion, Nullstell, Sinus, Sinusfunktion, Verschiebung

Geeee aktiv_icon

14:50 Uhr, 10.09.2015

Nächste Woche geht die Schule wieder los und ich beschäftige mich momentan mit Funktionen.

Bin dabei auf folgende Aufgabenstellung gestossen.
Ich soll von der Funktion

f (x) = 3 \cdot sin (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot π) - 1,5

die Nullstellen innerhalb des Intervalls von -2pi bis 2pi finden.

Ich konnte mich dann an folgende Formel erinnern:

0 = (\frac{k \cdot π + c}{b}))

Soweit so gut also setze ich ein und komme auf

0 = (k \cdot π + \frac{1}{4} \cdot π) \cdot 2

Daraus ergibt sich

2 \cdot k \cdot π + \frac{1}{2} \cdot π = 0

Von hier kann ich alle Nullstellen ablesen.
Falls ich bis hierhin einen Fehler begangen habe korrigiert mich!

Nur ist da halt das Problem das der Graph durch das

- 1,5

am ende um

1,5

Einheiten nach unten verschoben ist. Nun hab ich keine Ahnung wie ich so die Nullstellen berechnen soll.
Kann ich die

- 1,5

irgendwie in die Formel für die Nullstellen einbauen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

supporter aktiv_icon

15:22 Uhr, 10.09.2015

Wenn du

f (x)

Null setzt und umstellst, erhälst du:

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 0,5

Der sin ist

0,5

bei 30° und 150°, also

\frac{π}{6}

und

\frac{5}{6} \cdot π

Es muss daher gelten:

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{6}

und

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{5}{6} \cdot π

-Wolfgang-

15:30 Uhr, 10.09.2015

Ich denke, man muss in den beiden letzten Gleichungen jeweils rechts

k \cdot

2*PI addieren,

dann nach

x

umformen und schauen , für welche

k

aus

Z

die Lösungen in

[

-2*PI, 2*PI] liegen.

W

Geeee aktiv_icon

15:55 Uhr, 10.09.2015

Aber wie komm ich davon auf die Lösungen.
Die Lösung steht bei den Aufgaben immer daneben ohne Rechenweg und sie ist:

\frac{π}{- 6}

und

π \cdot \frac{7}{6}

@Wolfgang ich verstehe leiter nicht was du meinst. Kannst du es genauer beschreiben?

Roman-22

16:00 Uhr, 10.09.2015

"
Ich denke, man muss in den beiden letzten Gleichungen jeweils rechts k⋅ 2*PI addieren,

dann nach

x

umformen und schauen , für welche

k

aus

Z

die Lösungen in

[

-2*PI, 2*PI] liegen.
"

Ja, damit hast du natürlich vollkommen Recht. Allerdings hat supporter hier Glück, da sich die einzigen Lösungen jeweils für

k = 0

einstellen und ihm der Umstand, dass er die Periodizität nicht beachtet hat, bei dieser Aufgabe daher nicht auf den Kopf fällt. Alle anderen Lösungen befinden sich im Abstand

4 π

und daher dann außerhalb des angegeben Intervalls.

R

-Wolfgang-

16:05 Uhr, 10.09.2015

Stimmt, ändert aber nichts am Prinzip :-)

W

Roman-22

16:10 Uhr, 10.09.2015

> Aber wie komm ich davon auf die Lösungen.
? Wie darf ich diese Frage verstehen? Die beiden Gleichungen, die supporter am Ende seiner Antwort hingeschrieben hat, die wirst du doch sicher jeweils nach x auflösen können, oder?

Was Wolfgang richtig eingewendet hat ist, dass supporter im Grunde unendlich viele Lösungen unterschlagen hat, was aber zum Glück bei dieser Aufgabe keine negative Auswirkung hat, weil alle unterschlagenen Lösungen nicht im Intervall

[- 2 π; + 2 π]

liegen.

Es gilt nämlich nicht nur

a r c s i n (\frac{1}{2}) = {\binom{\frac{π}{6}}{\frac{5 π}{6}}

sondern vielmehr

a r c s i n (\frac{1}{2}) = {\binom{\frac{π}{6} + k \cdot 2 π}{\frac{5 π}{6} + k \cdot 2 π}

mit

k \in ℤ

.

Puristen mögen nun einwerfen, dass nach Definition

a r c s i n (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

ist und sonst nichts, da ja üblicherweise der Wertebereich bei der Arkussinus-Funktion auf

[- \frac{π}{2}; + \frac{π}{2}]

eingeschränkt wird. Sie haben Recht ;-)
Die angegeben Werte mögen daher als die unendlich vielen Lösungen der Gleichung

s i n (α) = \frac{1}{2}

angesehen werden.

R

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