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Viertelkreis mit Dreieck

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Tags: Ableitung, Dreieck, Trigonometrie, Viertelkreis

nizTKD aktiv_icon

14:29 Uhr, 28.01.2010

In einem Viertelkreis mit dem radius r ist ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben. Für welchen Winkel $α$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?

huhu,

wie würdet ihr da vor gehen?

also Viertelkreis würde ich A= $\frac{1}{2} r^{2}$ <- ist das richtig?

naja und für die seiten des Dreiecks.

a=rsin $α$ b=cos $α$

Aber wie setze ich das genau zusammen und wie leite ich dann ab?

Beste Grüße

Paul

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DK2ZA aktiv_icon

17:55 Uhr, 28.01.2010

Der Viertelkreis hat die Fläche

A_{V} = \frac{1}{4} \cdot r^{2} \cdot π

Wenn man den rechten Winkel des Dreiecks in den Kreismittelpunkt legt, dann haben die Katheten des Dreiecks jeweils die Länge

r

und seine Fläche ist

A_{D} = \frac{1}{2} \cdot r^{2}

Der Anteil der Dreiecksfläche an der Fläche des Viertelkreises ist

\frac{A_{D}}{A_{V}} = \frac{0,5 \cdot r^{2}}{0,25 \cdot r^{2} \cdot π} = \frac{2}{π} \approx 0,63662 = 63,662 %

Wo soll sich denn der Winkel

α

befinden (Skizze) ?

GRUSS, DK2ZA

nizTKD aktiv_icon

18:53 Uhr, 28.01.2010

hab mal ne skizze mit paint angefertigt, erhoffe ist ersichtlich ;-)

und wie und was leite ich genau ab? Möchte es gerne mit ableiten lösen.
grüße paul

DK2ZA aktiv_icon

21:42 Uhr, 28.01.2010

Die vertikale Seite des Dreiecks ist

r \cdot sin (α),

seine horizontale Seite ist

r \cdot cos (α)

. Also gilt für die Dreiecksfläche

A (α) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot sin (α) \cdot r \cdot cos (α) =

= \frac{r^{2}}{2} \cdot sin (α) \cdot cos (α) =

= \frac{r^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot α) =

= \frac{r^{2}}{4} \cdot sin (2 \cdot α)

Nun bildet man die Ableitung nach

α :

A' (α) = \frac{r^{2}}{4} \cdot cos (2 \cdot α) \cdot 2 =

= \frac{r^{2}}{2} \cdot cos (2 \cdot α)

Die Ableitung wird gleich 0 gesetzt:

0 = \frac{r^{2}}{2} \cdot cos (2 \cdot α)

0 = cos (2 \cdot α)

2 \cdot α =

90°

α =

45°

Die Dreiecksfläche ist am größten bei

α =

45°.

GRUSS, DK2ZA

nizTKD aktiv_icon

12:49 Uhr, 29.01.2010

Hey,
danke erstmal für die Ausführliche Beschreibung, der Schritte.

Kann mir allerdings den Schritt nach

r²/2*sin(α)cos(α)=

=r²/2*1/2sin(2*α)=

=r²/4*sin(2*α)

nicht erklären, wieso wird aus dem

cos (a)

ein

1 : 2

? bzw wäre echt nett, wenn mir der Schritt ein wenig genauer erläutert werden könnte. Wenn ich

sin (a)

ableite, wenn ich doch die Produktregel an?

Danke im Vorraus!

Beste Grüße Paul

DK2ZA aktiv_icon

16:58 Uhr, 29.01.2010

Ableitung von

f (α) = \frac{r^{2}}{4} \cdot sin (2 \cdot α)

nach der Kettenregel:

Ableitung des sin ist der

cos

. Dann (Kettenregel) noch multiplizieren mit der Ableitung des Argumentes

(2 \cdot α)

der Sinusfunktion. Diese ist 2.

Also:

f' (α) = \frac{r^{2}}{4} \cdot cos (2 \cdot α) \cdot 2 =

= \frac{r^{2}}{4} \cdot 2 \cdot cos (2 \cdot α) =

= \frac{r^{2}}{2} \cdot cos (2 \cdot α)

GRUSS, DK2ZA

nizTKD aktiv_icon

18:49 Uhr, 29.01.2010

Ich glaube du hast mich falsch verstanden. Oder ich blicke einfach nicht mehr durch.

: (

A(α)=1/2⋅r⋅sin(α)⋅r⋅cos(α)=

< -

ist mir klar

=r²/2⋅sin(α)⋅cos(α)= ist mir auch klar

=r²/2⋅1/2⋅sin(2⋅α)=

< -

den Schritt kann ich nicht nachvollziehen, wie du aus dem

cos (α)

ein

\frac{1}{2}

machst .. bzw es weg fällt. Hier kommen doch noch keine Ableitungsregeln zum Einsatz oder?

=r²/4⋅sin(2⋅α) = verständlich, wenn ich den obigen Schritt verstehe.

Beste Grüße Paul

atop1234 aktiv_icon

19:04 Uhr, 29.01.2010

Es gilt generell folgendes Additionstheorem für Sinus und Cosinus:

sin (a + b) = sin (a) \cdot cos (b) + cos (a) \cdot sin (b)

Jetzt mal

a = b = α

setzen...

DK2ZA aktiv_icon

21:02 Uhr, 29.01.2010

In den meisten Formelsammlungen steht es auch direkt:

sin (2 \cdot α) = 2 \cdot sin (α) \cdot cos (α)

GRUSS, DK2ZA

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