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Wozu die 3. Ableitung?!?
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Ableitung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kurvendiskussion
 
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Hallo liebes Forum! Endlich mal wieder eine Frage, ;-). Ich beschäftige mich gerade mit der Kurvendiskussion. An sich ein schönes Thema! Was ich an dem Thema nicht mag ist die dritte Ableitung! Also, ich kann sie bestimmen. Und ja! Sie soll beweisen, dass wenn sie ungleich 0 ist, dass bei ein Wendepunkt ist. Jetzt denk ich mir aber, die Information habe ich doch bereits bei der 2. Ableitung?!?!!!! Die Nullstellen der 2. Ableitung sagen doch schon, dass ein Wendepunkt vorliegt. Wozu soll ich also die 3. Ableitung machen?!? Nur um eine doppelte Information erhalten?!? Übersehe ich da vielleicht gerade einen Aufgabentyp in dem es aus der 2. Ableitung nicht hervorgeht, dass es ein Wendepunkt ist? Oder gibt es da noch eine andere Antwort? Habe im Netz schon danach gesucht. Finde da leider nichts drüber, außer dass erklärt wird warum es ungleich 0 sein muss. Das ist mir auch klar. Aber nicht die Antwort auf meine Frage. Vielleicht wisst ihr etwas darüber, ;-). Danke für die Antworten im voraus. LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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. "Und ja! Sie soll beweisen, dass wenn sie ungleich 0 ist, dass bei ein Wendepunkt ist." aber was ist, wenn bei nicht nur die zweite Ableitung ist - sondern auch die Dritte? :-) und was ist, wenn und ? |
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Danke für die erste Antwort :-). Textauszug: → aber was ist, wenn bei xW nicht nur die zweite Ableitung ist - sondern auch die Dritte? :-) 2. ) → und was ist, wenn f′(xW)=f′′(xW)=0 und f′′′(xW)≠0..? Kurz darüber nachgedacht,... Zu Wenn die dritte Ableitung gleich 0 ist, dann muss die 2. Ableitung doch ungleich 0 sein. Damit wäre es kein Wendepunkt. Denn nur die Nullstellen der 2. Ableitung sind Wendepunkte. Den Fall, dass die dritte Ableitung und die zweite Ableitung Null sind, den gibt es doch gar nicht. Oder etwa doch? Und wenn ja, was wäre das für ein Fall?... zu wenn ich den xWert des Wendepunktes in die erste Ableitung setze und da 0 heraus kommt dann ist es ein Sattelpunkt. Der wäre dann in die 2. Ableitung eingesetzt ebenfalls 0 und damit ein Wendepunkt. Eingesetzt in die dritte Ableitung ergibt das dann ungleich Null. Aber da ist wieder das Problem. Das gibt mir keine neue Information! Oder übersehe ich auch da wieder etwas? LG |
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. "Den Fall,dass die dritte Ableitung und die zweite Ableitung Null sind, den gibt es doch gar nicht." Aha ! schau dir vielleicht irgend ein einfaches Beispiel wie . mal an : Berechne da und an der Stelle Aha? was meinst? zu und was ist, wenn und ? " wenn ich den xWert des Wendepunktes in die erste Ableitung setze und da 0 heraus kommt dann ist es ein Sattelpunkt." ja, aber bei Sattelpunkt oder Terassenpunkt die dritte Ableitung ungleich Null sein (das ist das, was oben steht) allerdings ist deine forsche Aussage "Eingesetzt in die dritte Ableitung ergibt das dann ungleich Null." nicht zwingend, denn es kann doch durchaus sein, dass beim Einsetzen von sich ergibt, dass auch . dann ist vielleicht nichts mit deinem Sattel? .. Klartext: um sicher auf einem Sattel zu sitzen müssen alle drei Bedingungen (von oben) erfüllt sein, sonst könntest du vielleicht runterrutschen.. :-) . |
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Tatsache! Den Fall gibt es doch! Vielen Dank, :-)!!! Wie schaut das dann bei dem Graph aus, und deren Ableitungen? |
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Eigene Idee! Ist da in dem Graphen vielleicht ein Stückchen eine Gerade? Das Stückchen der Geraden hat in mehreren Punkten die gleiche Steigung in der ersten Ableitung. Deshalb ist dessen Steigung in der 2. Ableitung über mehrere Punkte hinweg 0. Deshalb ist wiederum dessen Steigung in der dritte Ableitung über mehrere Punkte hinweg ebenfalls 0. Somit haben wir überall Ursprünglich ist es aber kein Wendepunkt in gewesen. Ja, dass muss es sein! Ist das richtig? |
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. "Ja, dass muss es sein! Ist das richtig?" . leider NEIN .. Tipp: lass dir doch den Graph der Funktion hier einfach mal zeichnen .. rechneronline.de/funktionsgraphen und schau dir an, wie es an der Stelle aussieht.. . |
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Okay! Hab ich gemacht. Denk gleich nochmal darüber nach... Aber die Idee mit dem Geradenstückchen müsste doch auch stimmen! Oder? Zumindest wenn ich das graphisch ableite. |
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Jawoll! :-). Hab mir die Zeichnung gerad nochmal genauer angesehen. Da ist doch in der Zeichnung auch ein Geradenstück!!! Die PUnkte: und 0 und 0 und sollten eine Gerade bilden. |
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Geradenstücke sind es nicht, aber je mehr Ableitungen an einer Stelle Null sind, desto besser nähert sich dort der Kurvenverlauf einer Geraden (der Tangente) an. Man spricht dann von Flachpunkten, bzw. Flachpunkten höherer Ordnung. Die Krümmung ist dort, so wie auch in einem Wendepunkt, gleich Null. |
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Hm! Also, so richtig verstanden habe ich das mit den Flachpunkten noch nicht. Aber auf jeden Fall ist die Frage beantwortet wofür die dritte Ableitung ist. Dafür, dass man erkennt ob ein möglicher Wendepunkt tatsächlich ein Wendepunkt ist oder aber es sich um einen Flachpunkt handelt. Das habe ich bislang noch nicht gewusst! Danke dafür an alle Beteiligten. Erinnere mich, dass ich mal das Wort gelesen habe. Hatte es aber nicht weiter verfolgt. Habe jetzt auch mal im Netz danach gegoogelt. Richtig gute Quellen aber nicht gefunden. Vllt kann mir noch jemand das in einfachen Worten etwas genauer erklären. Ich glaub der Gedanke mit der Geraden im Kurvenverlauf ist auch nicht ganz verkehrt. LG |
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Ich habe dir Weiterführendes gefunden: http//mathenexus.zum.de/pdf/analysis/kurvendiskussion/weiterfuehrendes/abl_09_Flachpunkte.pdf mfG Atlantik |
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Bei Wendepunkten ist f''()=0 und mit f'''() entscheidet man, ob der Graph von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve wechselt (bei >0) oder umgekehrt (bei <0). Bei =0 kann es auch sein, dass es gar kein Wendepunkt ist, z.B. bei an der Stelle x=0. |
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Ein Beispiel mal noch für alle die, welche meinen, man müsse bei einer unendlich oft differenzierbaren Funktion nur genug Ableitungen an der kritischen Stelle berechnen um entscheiden zu können, ob Extrem- oder Sattelpunkt vorliegt: Beide Funktionen sind an der Stelle unendlich oft differenzierbar, und all diese Ableitungswerte sind gleich Null. besitzt an dieser Stelle ein lokales Minimum, hingegen einen Sattelpunkt... |
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Also 100%ig klar ist mir das nicht mit den Flachpunkten. Das mit der dritten Ableitung ist aber beantwortet. Ich schließe das hier mal und mach nochmal zum Thema Flachpunkten etwas auf. LG |
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Geschlossen ;-). |
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@HAL9000 Ein schönes Beispiel :-) Bei deinen Beispielen könnte man ja mit der Symmetrie (gerade bzw. ungerade Funktion) argumentieren, aber welches allgemeingültige Verfahren würdest du also empfehlen, um zwischen Wendepunkten und echten Flachpunkten zu unterscheiden? |
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