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Ableitung der Kreisformel r(x)

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Kreis, Kreisgleichung

Ravera aktiv_icon

16:48 Uhr, 12.02.2016

Hallo,

vorab: ich möchte keine Lösung erbitten sondern lediglich einen Tipp haben, wo ich eventuell einen Fehler gemacht habe.

- Aufgabe:
Für welchen Punkt

P (x, y)

der Funktion

f (x) = ln (x)

ist der Abstand zu dem Punkt

P 0 (2,2)

am kleinsten?
Finden Sie die Nullstelle mit dem Näherungsverfahren nach Newton

(x 0

bis

x 3)

- mein Lösungsweg:
Kreisgleichung aufstellen mit

P 0

als Mittelpunkt:

r^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2}

mit

y = ln (x) : r {(x)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(ln (x) - 2)}^{2}

Wurzel ziehen:

r (x) = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(ln (x) - 2)}^{2}}

1. Ableitung (ich vermute ich habe hier meinen Fehler, aber ich finde ihn nicht):

r' (x) = \frac{0,5}{\sqrt{({(x - 2)}^{2} + {(ln (x) - 2)}^{2})}} (2 (x - 2) + 2 (ln (x) - 2) \cdot \frac{1}{x})

xo=4,25 (gewählt, nach vorher angefertigter Skizze)
Newton-Verfahren: xn=xn-1-r(x=xn-1)/r'(x=xn-1)

Habe das ganze mal aus Spaß in Excel programmiert, komme da auf die gleichen falschen Werte wie meine "manuelle" Rechnung mit dem Taschenrechner. Deshalb kann die Fehlerquelle nur noch bei der Ableitung von

r (x)

liegen...
Die Lösung ist

x = 2,451

Ich danke Euch vorab für Eure Mühe und Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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abakus

17:39 Uhr, 12.02.2016

Hallo,
das ist mir zu kompliziert.
Die Tangente in einem beliebigen Punkt (u;ln(u)) hat den Anstiegt 1/u. Die Normale in diesem Punkt hat dann den Anstieg -u.
Diese Normale muss nun durch den Punkt (2;2) gehen.
Das Steigungsdreieck zwischen den Punkten (u;ln(u)) und (2;2) hat den Anstieg

\frac{2 - l n (u)}{2 - u}

, und das muss -u ergeben.
Löse also

\frac{2 - l n (u)}{2 - u} = - u

rundblick aktiv_icon

17:40 Uhr, 12.02.2016

.
du hast

\to r^{2} (x) = {(x - 2)}^{2} + {(2 - ln x)}^{2} \to

richtig notiert..

und nun ein kleiner Tipp:

wenn du ein Extremum von

r (x)

suchst

\to

welche Eigenschaft wird eine solche Stelle dann für

r^{2} (x)

haben ?

und: ist es vielleicht dann einfacher eine andere Ableitung zu untersuchen ?

nebenbei:
du wirst so mit

(r^{2})' = 0 .

. einfacher unf in einer Zeile zu genau der gleichen Gleichung kommen
wie du sie auch schon hast oder wie bei der obigen Gast-Variante

\to 2 (x - 2) - 2 \cdot (2 - ln x) \cdot \frac{1}{x} = 0

suche also nun mit dem erwähnten Näherungsverfahren die Lösung von

x^{2} - 2 x - 2 + ln (x) = 0

sm1kb aktiv_icon

17:59 Uhr, 12.02.2016

Hallo Ravera,
rundblick hat Recht: Es ist einfacher das Abstandsquadrat abzuleiten. Die Lösung ist x=2.450...
Gruß von sm1kb

Roman-22

18:28 Uhr, 12.02.2016

Hallo Ravera!

Dass es einfacher als von dir in Angriff genommen auch geht, ist dir ja schon gesagt worden.

Trotzdem wollte ich dir noch sagen, warum es bei dir mit Excel und "zu Fuß" nicht geklappt hat.
Du suchst doch eine Nullstelle der ersten Ableitung

r' (x)

. Damit ist im Newton-verfahren das

f (x) = r' (x)

und folglich auch

f' (x) = r'' (x)

.
Du hattest aber

r

und

r'

anstelle von

r'

und

r''

verwendet und damit im Grunde eine (weder interessierende noch existierende) Nullstelle von

r (x)

gesucht und bist logischerweise gescheitert.

Aber auch bei richtigem Ansatz (und hier würde es für

r' (x) = 0

ja auch reichen, nur den Zähler von

r' (x)

Null zu setzen) wäre der Startwert

4,25

ungünstig, weil der nächste Näherungswert negativ und die Funktionswerte somit nicht-reell wären.
Wie du durch eine Zeichnung auf einen dermaßen zu großen Schätzwert gekommen sein willst ist eigentlich nicht erklärlich. Jedenfalls sollte dein Schätzwert deutlich unter

3,75

liegen.
Mit

x_{0} = 3,75

benötigst du

12

bis

13

Iterationsschritte,
mit

x_{0} = 3

sind es nur mehr 5 und
mit

x_{0} = 2.5

kannst du schon nach dem dritten Schritt aufhören.

R

Ravera aktiv_icon

18:57 Uhr, 12.02.2016

Hallo,

ich danke erstmal allen für die zahlreichen Antworten. Im Großen und Ganzen kann ich es auch nachvollziehen, aber an Roman-22: Warum ist

f (x) = r' (x)

und

f' (x) = r'' (x)

? Da blicke ich momentan nicht durch...

Roman-22

19:11 Uhr, 12.02.2016

Newton ist ein Verfahren, welches (zumindest manchmal) näherungsweise die Nullstelle einer Funktion

f (x)

ermittelt und dazu

u . a

. die erste Ableitung

f' (x)

verwendet.

Du möchtest die Nullstelle der Funktion

r' (x)

ermitteln, also benötigt Newton diese Funktion

r' (x)

und deren erste Ableitung, welche dann eben

r'' (x)

ist.

R

Ravera aktiv_icon

15:39 Uhr, 15.02.2016

Ach, natürlich!

r' (x)

ist ja die Steigung der Funktion und demnach f(x)und man möchte die Nullstelle der Steigung zur gegebenen Funktion haben...
Und

r'' (x)

ist dann die erste Ableitung sprich

f' (x)

Soeben ist der Groschen gefallen, etwas spät.

Ich danke Euch allen für die Hilfe! :-)

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