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Extrempunkte von Trigonometrischen Funktionen ?

Schüler Gesamtschule, 9. Klassenstufe

Tags: Ableitungsfunktion, Extrempunkt, Kurvendiskussion, Trigonometrie, Trigonometrische Funktionen

Tamburin442 aktiv_icon

13:48 Uhr, 10.03.2015

Hallo,

ich bin noch bei meiner Kurvendisskusion mit den Funktionen die ich letztens gepostet habe.

Also die Nullstellen, Y-achsenschnittpunkte und Definitionsbereich sowie die erste und zweite ableitung als auch die ExtremSTELLEN ( Nicht die ExtremPUNKTE) waren kein Problem.

Folgendes Problem: Wenn ich die Extremstellen herausgefunden habe, muss ich diese in die 2. Ableitung einsetzten um herauszufinden ob es sich um ein Hoch oder Tiefpunkt handelt und am schluss dann nochmal in die Ausgangsfunktion um den ExtremPUNKT herauszufinden.

Theoretisch überhaupt kein Problem...bei Ganzrationalen Funktionen.

Bei Trigonometrischen Funktionen hab ich noch sehr große Probleme beim Einsetzten der werte: Wie kann man diesen Wert

x = \frac{- 1 + \sqrt{33}}{8}

in die zweite Ableitung oder der Ausgangsfunktion einsetzen und ohne Taschenrechner rechnen? das ist doch total die Zumutung...

Hier die Funktion und meine Rechnungen:

f (x) = sin (2 Π \cdot x) + cos (Π \cdot x)

f' (x) = 2 Π \cdot cos (2 Π \cdot x) - Π \cdot sin (Π \cdot x)

f'' (x) = - 4 Π^{2} \cdot sin (2 Π \cdot x) - Π^{2} \cdot cos (Π \cdot x)

Und Jetzt die Berechnung der Extremstellen:

f' (x) = 0

\to 2 Π \cdot cos (2 Π \cdot x) - Π \cdot sin (Π \cdot x) = 0

\to

Durch Umformungen erhalte ich

: {sin}^{2} (Π \cdot x) + \frac{1}{4} \cdot sin (Π \cdot x) - \frac{1}{2} = 0

\to

Durch Substitution und anschließende Berechnung mit der P-Q-Formel erhalte ich:

\to z_{1} = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}

und

z_{2} = - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8}

Und schon hier trifft mich der Schlag, wie soll man mit solchen Werten bitte weiterrechnen, ohne Taschenrechner, ist doch absurd! :-)

Wenn ich jetzt noch die Rücksubstitution mache , wird es noch schlimmer...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Quotientenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

15:06 Uhr, 10.03.2015

. .

. bei dieser Kombination der W.-fkt. bleibt dir wohl nichts weiter übrig als konseqent die Extremstellen zu berechnen.

Für die Art der Extremstelle allerding empfehle ich eine einfachere Variante.

sin (π \cdot x) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}

π \cdot x = 0,6348 . .

\Rightarrow x = 0,2020 . .

.

wegen

sin (x) = sin (π - x)

sin (π - π \cdot x) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}

π - π \cdot x = 0,6348 . .

\Rightarrow x = 0,7979

und die andere Wurzel:

sin (π \cdot x) = - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8}

π \cdot x = - 1,0029 . .

\Rightarrow x = - 0,3192 . .

.

wegen

sin (x) = sin (π - x)

sin (π - π \cdot x) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}

π - π \cdot x = - 1,0029 . .

\Rightarrow x = 1,3192 . .

.

Dies 4 Ergebnisse natürlich auch noch jeweils

+ 2 \cdot k \cdot π

Für die Art der Extremstelle

x_{1}, x_{2}, x_{3}

und

x_{4}

müsste man nun nur schauen, ob

f (x_{i} + 0,1) < f (x_{i}) \Rightarrow

lok. Maximum

f (x_{i} + 0,1) > f (x_{i}) \Rightarrow

lok. Minimum

weil die Extremstellen mindestens

0,1

auseinanderliegen.

Aber eine Rechnerei bleibts schon.

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

15:11 Uhr, 10.03.2015

Vielen dank erstmal für deine Antwort.

Aber du hast das mit dem Taschenrechner gemacht.

Wir sollen das Ohne Taschenrechner hinbekommen.

Was soll ich jetzt tun?

Bummerang

15:12 Uhr, 10.03.2015

Hallo Edddi,

und jetzt beantwortest Du dem Fragesteller bitte noch seine Frage: "wie soll man mit solchen Werten bitte weiterrechnen, ohne Taschenrechner".

D . h

. Du erklärst ihm wie er

z . B

π \cdot x = - 1,0029 . .

. und daraus

x = - 0,3192 . .

. ohne Taschenrechner ermittelt hast!

Tamburin442 aktiv_icon

15:17 Uhr, 10.03.2015

Hallo Bummerang,

ich meinte Komplett Ohne Taschenrechner: Also auch diese

1,00 . .

. Sind ja nicht im kopf berechnet.

Bummerang

15:18 Uhr, 10.03.2015

Hallo,

was Du meinst ist mir klar und wenn Du meinen Post liest, dann steht auch genau das da!

Edddi aktiv_icon

15:21 Uhr, 10.03.2015

. .

. nein, ich wollte mit "... bleibt dir wohl nichts anderes übrig..." andeuten, das dies schon Fleißarbeit mit dem TR ist.

Es gibt natürlich andere Kombinationen wo's sich besser vereinfachen ließe, wie:

f (x) = cos (2 \cdot π \cdot x) + sin (π \cdot x)

f' (x) = - 2 \cdot π \cdot sin (2 \cdot π \cdot x) + π \cdot cos (π \cdot x)

- 2 \cdot sin (2 \cdot π \cdot x) + cos (π \cdot x) = 0

- 4 \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (π \cdot x) + cos (π \cdot x) = 0

(1 - 4 \cdot sin (π \cdot x)) \cdot cos (π \cdot x) = 0

. .

. nun weiß ich nicht woher die Aufgabe kommt, aber ohne TR ist schon ganz schön krass, denn diese Kombination lässt sich nicht so schön vereinfachen.

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

15:29 Uhr, 10.03.2015

Sry . Hab dich wohl missverstanden.

Also wenn ich die Rücksubstitution mache habe ich :

sin (Π \cdot x) = - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}

\to Π \cdot x =

arcsin(

- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8})

\to x = \frac{1}{Π} \cdot

arcsin(

- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8})

\to

wo der dazugehörige zweite winkel ist , weiß ich leider auch nicht.

\to

Generell ist das bei den nichtgängigen

sin -

oder cos-werten etwas schwierig:
Wo liegen die zweiten Winkel bei folgenden ausdrücken : arcsin(1/4),arcsin(1/8), arcsin(1/5), arcsin(12/7) und das gleiche mit cosinus: arccos(1/4), arccos(1/8), arccos(1/15) etc. das gleiche auch beim Tangenz. Ich weiß generell nicht wie immer der zweite winkel heißt, bei den "nichtgängigen" cosinus , sinus und tangenz-werten. Da ist mein erstens Problem.

\to

Zweites Problem: Wenn ich Werte wie

x = \frac{1}{Π} \cdot

arcsin(

- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8})

in die zweite Ableitung eingeben muss , reicht es wenn ich weiß ob das Ergbenis größer oder kleiner Null ist, ich muss keinen exakten wert errechnen. Und wenn ich den Extrempunkt angeben will reicht es wenn ich schreibe

E_{1} (\frac{1}{Π} \cdot

arcsin(

- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}) | f (\frac{1}{Π} \cdot

arcsin(

- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}))

.
Also der Name des Extrempunktes

E_{1}

hab ich jetzt nur so dahingeschreiben, da ich noch nicht weiß ob TP oder HP.

Edddi aktiv_icon

15:54 Uhr, 10.03.2015

. .

. eine famose Idee!

Solange du ihn nicht skizzieren must (dafür wären die Zahlenwerte nicht schlecht) ist deine Variante für den Extrempunkt ohne TR erstmal nicht falsch. (Solange dein Lehrer nichts dagegen hat)

Extremstellen könntest du also so angeben:

x_{1} = \frac{1}{π} \cdot a r c s i n (- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}) + 2 \cdot k

x_{2} = 1 - \frac{1}{π} \cdot a r c s i n (- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}) + 2 \cdot k

x_{3} = \frac{1}{π} \cdot a r c s i n (- \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8}) + 2 \cdot k

x_{4} = 1 - \frac{1}{π} \cdot a r c s i n (- \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8}) + 2 \cdot k

+ 2 \cdot k

wegen der Periode von 2 (nicht

2 \cdot π

wie in meinem vorigen Post angegeben)

Der 2. Winkel ergibt sich, siehe meine Post, aus:

sin (x) = sin (π - x)

oder

cos (x) = cos (- x)

Und die Angabe der Extrempunkte mit

x_{i} | f (x_{i})

ist formal zwar richtig, aber ob es das ist, was dein Lehrer will?

Und ja, es reicht zu wissen, ob

f'' (x_{i}) > 0

oder

f'' (x_{i}) < 0

für die Art der Extremstellen.

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

16:05 Uhr, 10.03.2015

Ok Super .

Ja ich denke dass das so reicht, es sei denn man hat einen Taschenrechner im Kopf eingebaut, aber ich frage nochmal nach.

Wenigstens weiß ich jetzt wie ich immer den zweiten Sinus bzw. Cosinus-Wert finde.

Und was das mit dem einsetzen in die 2. Ableitung angehnt...ja genau das wusste ich bereits :-) . Aber ich weiß nicht wie ich jetzt mit solchen werten herausfinden kann ob dann das Ergbnis größer oder kleiner als Null ist.

Tamburin442 aktiv_icon

16:41 Uhr, 10.03.2015

Die Ergbenisse von

x_{1}

bis

x_{4}

konnte ich teilweise nachvollziehen, aber manches bleibt mir noch unbeantwortet:

x_{2} = 1 - \frac{1}{Π}

*arcsin(

- \frac{1}{8} + \sqrt{33}) + 2 k

Die Periode

2 k

ist richtig, da sich das

Π

ja nach der Division durch

Π

wegkürzt (der letzte schritt ) .

Wie kommst du aber immer wieder auf diese

1 - . .

. . Wieso ???

Edddi aktiv_icon

17:59 Uhr, 10.03.2015

. .

. ich schreib's mal in Kurzform:

sin (π \cdot x) = p

π \cdot x = a r c s i n (p)

x = \frac{1}{π} \cdot a r c s i n (p)

Die 2. Lösung über die Identität

sin (x) = sin (π - x)

Somit muss auch:

sin (π - π \cdot x) = p

π - π \cdot x = a r c s i n (p)

π \cdot x = π - a r c s i n (p)

x = \frac{π - a r c s i n (p)}{π} = \frac{π}{π} - a r c s i n \frac{p}{π} = 1 - \frac{1}{π} \cdot a r c s i n (p)

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

19:22 Uhr, 10.03.2015

Ok gut. Danke :-) Wieder was neues gelernt :-)))

Ich habe jetzt versucht diese Werte in die 2. Ableitung einzugeben um herauszubekoomen ob kleiner oder größer Null. Aber ich bekomme keine Tendenz heraus, ob das Ergebnis eher positiv oder negativ ist, wenn ich das in die zweite Ableitung einsetze.

Edddi aktiv_icon

20:09 Uhr, 10.03.2015

. .

. die 4 Extremstellen im Intervall

[0,2) :

x_{1} = 0,2020 \Rightarrow sin (2 \cdot π \cdot x_{1}) = 0,9548

und

cos (π \cdot x_{1}) = 0,8053

\Rightarrow - π^{2} \cdot (4 \cdot sin (2 \cdot π \cdot x_{3}) - cos (π \cdot x_{3})) < 0 \Rightarrow

lok. Maximum

x_{2} = 0,7979 \Rightarrow sin (2 \cdot π \cdot x_{2}) = - 0,9550

und

cos (π \cdot x_{2}) = - 0,8051

\Rightarrow - π^{2} \cdot (4 \cdot sin (2 \cdot π \cdot x_{3}) - cos (π \cdot x_{3})) > 0 \Rightarrow

lok. Minimum

x_{3} = 1,6807 \Rightarrow sin (2 \cdot π \cdot x_{3}) = - 0,9069

und

cos (π \cdot x_{3}) = 0,5376

\Rightarrow - π^{2} \cdot (4 \cdot sin (2 \cdot π \cdot x_{3}) - cos (π \cdot x_{3})) > 0 \Rightarrow

lok. Minimum

x_{4} = 1,3192 \Rightarrow sin (2 \cdot π \cdot x_{4}) = 0,9069

und

cos (π \cdot x_{4}) = - 0,5379

\Rightarrow - π^{2} \cdot (4 \cdot sin (2 \cdot π \cdot x_{3}) - cos (π \cdot x_{3})) < 0 \Rightarrow

lok. Maximum

Die beiden Summanden in der Klammer lassen sich leicht abschätzen, ob positiv oder negativ, dann umkehren, da Multiplikation mit

- π^{2}

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

20:47 Uhr, 10.03.2015

ja toll, ist zwar mit taschenrechner ...aber ich will mich nicht beschweren :-) Danke ;-)

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